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Cálculo de equilíbrios em equações de diferenças e análise de estabilidade via diagrama de Cobweb

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perguntada Abr 30 em Matemática por Lucas Santos e Silva (76 pontos)  
editado Mai 13 por Lucas Santos e Silva

Suponha equações de oferta e demanda dadas por:

\[ D(n) = -2p(n) + 3 \]

\[ S(n+1) = p^2(n) + 1 \]

a) Considerando que o preço de mercado é aquele em que a oferta iguala a demanda, encontrar a equação em diferenças que relaciona \(p(n+1) \) a \(p(n)\).

b) Determinar o equilíbrio positivo da equação encontrada no item anterior.

c) Utilizando o diagrama de Cobweb ("Stair Step Diagram"), determinar a estabilidade deste equilíbrio positivo.

Ref.: Capítulo 1 (Item 1.3 - Exercício 11) do livro "An Introduction to Difference Equations" de Saber Elaydi.

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1 Resposta

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respondida Abr 30 por Lucas Santos e Silva (76 pontos)  
editado Mai 8 por Lucas Santos e Silva

a) Considerando que o preço de mercado é aquele em que a oferta iguala a demanda, encontrar a equação em diferenças que relaciona \(p(n+1)\) a \(p(n)\).

Notamos inicialmente que podemos reescrever a equação de demanda da seguinte forma:

\[ D(n+1) = -2 \times p(n+1) + 3 \]

Desta forma, dada a hipótese de que o preço de mercado é aquele em a oferta iguala a demanda, temos que sob tais condições vale a seguinte relação:

\[ D(n+1) = S (n+1) \]

Desta forma, obtemos:

\[ -2 \times p(n+1) + 3 = p^2(n) + 1 \]

Resolvendo para \( p(n+1)\):

\[ 2 \times p(n+1) - 3 = - p^2(n) - 1 \]

\[ 2 \times p(n+1) = - p^2(n) + 2 \]

\[ p(n+1) = - \frac{1}{2} \times p^2(n) + 1 \]

\( \therefore \) A equação em diferenças que relaciona \(p(n+1)\) a \(p(n)\) é dada por \( p(n+1) = - \frac{1}{2} \times p^2(n) + 1 \)

\[ \]

b) Determinar o equilíbrio positivo da equação encontrada no item anterior.

Neste caso, temos que um ponto \( x^*\) do domínio é dito ser um ponto de equilíbrio de \( x(n+1) = f(x(n))\) se o mesmo for um ponto fixo de \( f\), ou seja, se tivermos \(f(x^*) = x^* \).

Obs. Graficamente este ponto de equilíbrio corresponde a coordenada \(x\) do ponto em que o gráfico de \(f \) intercepta a linha diagonal \( y = x \).

Considerando a equação de diferenças obtida no item anterior, onde obteve-se uma relação do tipo \(p(n+1) = f(p(n)) \), e dada a definição acima, temos que neste caso o equilíbrio será dado pelo valor \(p^*\) tal que:

\[p^* = f(p^*)\]

O que nos fornece:

\[ p^* = - \frac{1}{2} \times (p^*)^2 + 1 \]

Logo:

\[ \frac{1}{2} \times (p^*)^2 + p^* - 1 = 0 \]

E portanto:

\[ (p^*)^2 + 2(p^*) - 2 = 0 \]

Resolvendo a equação de 2º grau acima obtemos as seguintes raízes:

\[ p_1^* = -1 + \sqrt3 \]

\[ p_2^* = -1 - \sqrt3 \]

Dado que estamos buscando o equilíbrio positivo (o que se justifica pelo fato de tratar-se de preços), desconsideramos a segunda raiz (pois \( p_2^* < 0 \) ).

\( \therefore \) O equilíbrio positivo da equação de diferenças obtida é dado por \( p^* = -1 + \sqrt3 \simeq 0,7321 \)

\[ \]

c) Utilizando o diagrama de Cobweb ("Stair Step Diagram"), determinar a estabilidade deste equilíbrio positivo.

Neste caso, inicialmente ressaltamos que não foi informado no problema qual valor inicial (\( \, p(0) \) ) deveria ser considerado. Sendo assim, realizaremos algumas variações em relação ao mesmo de forma a verificar a estabilidade do equilíbrio em caráter mais amplo.

No entanto, dado nosso interesse apenas por preços positivos, notamos que:

\[ p(n+1) \geq 0 \Rightarrow - \frac{1}{2} \times p^2(n) + 1 \geq 0 \]

Logo, isto implica em:

\[ - \frac{1}{2} \times p^2(n) + 1 \geq 0 \]

\[ \frac{1}{2} \times p^2(n) \leq 1 \]

\[ p^2(n) \leq 2 \]

\[ p(n) \leq \sqrt 2 \]

Desta forma, nas simulações a serem realizadas estaremos sempre respeitando a relação \( p(0) \leq \sqrt 2 \).

Utilizando então o código abaixo indicado (ver também "Apêndice" ao final da resposta), e sempre considerando 100 iterações (que se mostraram mais que suficientes para verificar o comportamento desejado), traçamos o diagrama de Cobweb para três valores distintos de \( p(0) \).

A imagem será apresentada aqui.

Considerando \(p(0) = 0 \) obtemos o seguinte diagrama:

A imagem será apresentada aqui.

No caso de \(p(0) = 1 \) obtemos:

A imagem será apresentada aqui.

E por fim, para o caso em que \(p(0) = \sqrt 2 \), obtemos:

A imagem será apresentada aqui.

Desta forma, verifica-se em todos os gráficos acima apresentados a obtenção de diagramas de Cobweb convergindo para o equilíbrio anteriormente identificado ( \( p^* = -1 + \sqrt3 \simeq 0,7321 \) ).

\( \therefore \) O equilíbrio positivo identificado é assintoticamente estável.

\[ \]

Apêncice:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

n = 100
p = np.zeros(n+1)
p[0] = np.sqrt(2)
t = np.linspace(0, np.sqrt(2), n)

for i in range(n):
    p[i+1] = ((-1/2)*((p[i])**2)) + 1

y = ((-1/2)*((t)**2)) + 1    

fig, ax = plt.subplots()
for i in range(n):
    ax.plot([p[i], p[i]], [p[i], p[i+1]], 'b', linewidth=1)
    ax.plot([p[i], p[i+1]], [p[i+1], p[i+1]], 'b', linewidth=1)
    ax.plot(t, y, 'g', linewidth=0.8)
ax.plot(t, t, 'r', linewidth=0.8, alpha=0.8)
ax.set_xlabel('$p(n)$')
ax.set_ylabel('$p(n+1)$')
ax.set_title('The Stair Step (Cobweb) Diagram (n = 100 e p(0) = sqrt(2))')

plt.show()
comentou Mai 7 por João Pedro Mussi (31 pontos)  
Lucas, muito boa sua resposta! Segue de forma muito didática, especialmente com os diferentes valores de possíveis p(0) e fazendo diagrama de Cobweb para cada um dos casos. Uma unica sugestão que poderia fazer era em relação aos gráficos era adicionar a reta da equação em diferença que relaciona \(p(n+1)\) e \(p(n)\) achada no item \(a\) pois a interseção será sempre no centro do diagrama de Corbweb e ajudar ver todo o caminho da série. Acredito que adicionando a função de p[t+1] acima ao ax.plot sem o range isso seria possível.
comentou Mai 7 por Lucas Santos e Silva (76 pontos)  
Muito obrigado pelo comentário Mussi! De fato a inclusão da curva da equação de diferenças é uma boa sugestão para facilitar a visualização da convergência para o ponto de equilíbrio anteriormente identificado. Desta forma, alterei as imagens na resposta de forma a considerar tal representação.
comentou Mai 8 por Stuart Mill (1,424 pontos)  
Os gráficos estão bem legais, mas seria legal também ter os códigos disponíveis no formato de código do Prorum, em vez de colocar o código em imagem (que fica bem legível, mas é mais difícil para alguém que quer tentar replicar seu código...).
comentou Mai 8 por Lucas Santos e Silva (76 pontos)  
editado Mai 8 por Lucas Santos e Silva
Bem lembrado, pois realmente o código em imagem não facilita neste aspecto. Vou inserir na resposta também um apêndice com o código em formato do Prorum.

Muito obrigado pelo comentário!
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