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Estacionariedade de processos estocásticos

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perguntada Mai 1 em Estatística por gustavobrangel (6 pontos)  
editado Mai 13 por gustavobrangel

Seja \(\lbrace \varepsilon_t \rbrace\) um ruído branco. Verifique que os processos definidos como \(x_t = \varepsilon_t\) e \(y_t = (-1)^t \varepsilon_t \) são estacionários. Mostre que a soma

\[ z_t = x_t + y_t \]

não é estacionária.

Referência: Exercício 1, Capítulo 5 do Livro "Time Series and Dynamic Models" de Gourieroux & Monfort

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1 Resposta

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respondida Mai 1 por gustavobrangel (6 pontos)  

Vamos utilizar a defininção do ruído branco como um processo estocástico cujas variáveis aleatórias são independentes e identicamente distribuídas como uma normal com média 0 e variância finita \(N(0, \sigma^2)\).

Assim, por definição, o processo \(x_t = \varepsilon_t\) é estacionário, visto que:

\[ \begin{align} \mathrm{E}(x_t) &= 0 \\ \mathrm{var}(x_t) &= \sigma^2 < \infty \\ \mathrm{cov}(x_t, x_{t-j}) &= 0 \quad \forall j \ne 0 \end{align} \]

O processo \(y_t\) também é estacionário, visto que suas média e variância são constantes e a covariância depende apenas da diferença de período \(j\):

\[ \begin{align} \mathrm{E}(y_t) &= \mathrm{E}(-1^t) \mathrm{E}(\varepsilon_t) = 0 \\ \mathrm{var}(y_t) &= (-1)^{2t} \mathrm{var}(\varepsilon_t) = \sigma^2 < \infty \\ \mathrm{cov}(y_t, y_{t-j}) &= (-1)^t (-1)^{t-j} \mathrm{cov}(\varepsilon_t, \varepsilon_t) = (-1)^{-j} \sigma^2 \end{align} \]

Já o processo \(z_t\) possui variância igual a:

\[ \begin{align} \mathrm{var}(z_t) &= \mathrm{var}(x_t) + \mathrm{var}(y_t) + 2\mathrm{cov}(x_t, y_t) \\ &= 2\sigma^2+ 2 (-1)^t \mathrm{cov}(\varepsilon_t,\varepsilon_t) \\ &= 2\sigma^2 + 2(-1)^t \sigma^2 \end{align} \]

que é igual a \(4\sigma^2\) para \(t\) par, e igual a 0 para \(t\) ímpar. Assim, não possuindo variância constante, o processo \(z_t\) não é estacionário.

comentou Mai 7 por João Pedro Mussi (31 pontos)  
Ótima resposta Gustavo! Muito clara e didática. Uma sugestão que tomei a liberdade para adicionar aqui é uma demonstração grafica da não estacionariedade da variâcia de \(z_t\) para caso de \(\sigma = 1\) como exemplificação:

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt


# t in range 30 spaced numbers

t=np.arange(0,30)

# the function, which is var(z) = y for sigma = 1  here
y = 2+ 2*(-1)**t

# plot the function
plt.plot(t,y, 'r')

# show the plot
plt.show()
...