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x

Seja, \(f(x,y) = c(x^2-y^2)e^{-x}, 0 \leq x < \infty, -x\leq y < x\)

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perguntada Mai 9 em Estatística por João Isidio (26 pontos)  
editado Mai 25 por João Isidio

Seja,

\(f(x,y) = c(x^2-y^2)e^{-x}, 0 \leq x < \infty, -x\leq y < x\)

a. Encontre \(c\).
b. Encontre as funções de densidade marginal.
c. Encontre as funções de densidade condicional.

Exercício 12 do capítulo 3 do livro "Mathematical Statistics and Data Analysis" de John A. Rice

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2 Respostas

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respondida Mai 13 por Tales Lins Costa (36 pontos)  
selecionada Mai 16 por João Isidio
 
Melhor resposta

Muito bem elaborado, João! Conferindo aqui vi que os resultados são esses mesmos e sua conta bateu com a minha. Aliás, é bem grandinha. Uma contribuição que eu posso fazer aqui, que seria mais uma curiosidade a respeito do cálculo das funções marginais, é como elas podem ser elaboradas no Python. Vamos pegar um exemplo como a seguinte função:

\(f(x, y) = e^{-y\cdot(x+1)}\), \(0\leq x \leq \infty, 0\leq y \leq \infty\)

Dada essa função, podemos programar da seguinte forma:

from scipy.integrate import dblquad 
import math

def f(x, y):
    return y*math.exp(-y*(x+1))

md = dblquad(f,0,math.inf, lambda x: 0 , lambda x:math.inf)

print(md)
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respondida Mai 9 por João Isidio (26 pontos)  
editado Mai 13 por João Isidio

Item a:

Para que \(f(x, y)\) seja uma função densidade, devemos ter:

\(\int_{-x}^x \int_0^\infty c(x^2-y^2)e^{-x}dxdy=1\)

Ou,

\(\int_0^\infty \int_{-x}^x c(x^2-y^2)e^{-x} dydx=1\)

Isolando o \(c\) e realizando a integração em \(y\) para o intervalo definido, conclui-se pelo seguinte:

\(c\int_0^\infty \int_{-x}^x (x^2-y^2)e^{-x} dydx=1\)
\(c\int_0^\infty \int_{-x}^x (x^2e^{-x}-y^2e^{-x}) dydx=1\)
\(c\int_0^\infty (x^2e^{-x}y - \frac{y^3}{3}e^{-x})\rvert_{-x}^x dx=1\)
\(c\int_0^\infty [(x^2e^{-x}x - \frac{x^3}{3}e^{-x})-(x^2e^{-x}(-x) - \frac{(-x)^3}{3}e^{-x})] dx=1\)
\(c\int_0^\infty [(x^3e^{-x} - \frac{x^3}{3}e^{-x}) - (-x^3e^{-x} + \frac{x^3}{3}e^{-x})] dx=1\)
\(c\int_0^\infty [2x^3e^{-x} - \frac{2}{3}x^3e^{-x}] dx=1\)
\(c\int_0^\infty \frac{4}{3}x^3e^{-x} dx=1\)

Uma expressão equivalente pode ser alcançada retirando-se a constante da integral e multiplicando-se ambos os lados da equação por \(\frac{3}{4}c^{-1}\):

\(\int_0^\infty x^3e^{-x} dx=\frac{3}{4}c^{-1}\) (1)

Agora, usando-se do método de integração por partes, realiza-se a integral em \(x\) para o intervalo definido, no termo do lado esquerdo da equação (1):

\(\int_0^\infty x^3e^{-x} dx = -x^3e^{-x}\rvert_0^\infty - \int_0^\infty -3x^2e^{-x} dx \)
\(\int_0^\infty x^3e^{-x} dx = -x^3e^{-x}\rvert_0^\infty + \int_0^\infty 3x^2e^{-x} dx \)
\(\int_0^\infty x^3e^{-x} dx = [(\lim_{x\to\infty} -x^3e^{-x})-(-0^3e^{-0})] + \int_0^\infty 3x^2e^{-x} dx \)
\(\int_0^\infty x^3e^{-x} dx = [(0)-(0)] + \int_0^\infty 3x^2e^{-x} dx \)
\(\int_0^\infty x^3e^{-x} dx = \int_0^\infty 3x^2e^{-x} dx \)
\(\int_0^\infty x^3e^{-x} dx = 3\int_0^\infty x^2e^{-x} dx \) (2)

Usando-se novamente do método de integração por partes, calcula-se a integral, em \(x\) para o intervalo definido, do lado direito da equação (2) :

\(\int_0^\infty x^2e^{-x} dx = -x^2e^{-x}\rvert_0^\infty - \int_0^\infty -2xe^{-x} dx \)
\(\int_0^\infty x^2e^{-x} dx = -x^2e^{-x}\rvert_0^\infty + 2\int_0^\infty xe^{-x} dx \)
\(\int_0^\infty x^2e^{-x} dx = [(\lim_{x\to\infty} -x^2e^{-x})-(-0^2e^{-0})] + 2\int_0^\infty xe^{-x} dx \)
\(\int_0^\infty x^2e^{-x} dx = [(0)-(0)] + 2\int_0^\infty xe^{-x} dx \)
\(\int_0^\infty x^2e^{-x} dx = 2\int_0^\infty xe^{-x} dx \) (3)

Usando-se do método de integração por partes na integral do lado direito da equação (3), podemos concluir:

\(\int_0^\infty xe^{-x} dx = -xe^{-x}\rvert_0^\infty - \int_0^\infty -e^{-x} dx\)
\(\int_0^\infty xe^{-x} dx = [(\lim_{x\to\infty} -xe^{-x}) - (-0e^{-0})] - (e^{-x})\rvert_0^\infty \)
\(\int_0^\infty xe^{-x} dx = [(0) - (0)] - [(\lim_{x\to\infty} e^{-x})-(e^{-0})]\)
\(\int_0^\infty xe^{-x} dx = - [(0)-(1)]\) = - [-1] = 1 \) (4)

Agora, substituindo (4) em (3), (3) em (2) e finalmente (2) em (1), tem-se:

\(\int_0^\infty x^3e^{-x} dx=3\int_0^\infty x^2e^{-x} dx=3(2\int_0^\infty xe^{-x} dx)=3(2.1)=\frac{3}{4}c^{-1}\)

Portanto,

\(\frac{3}{4}c^{-1}=6 \Leftrightarrow c=\frac{1}{8}\)

Item b:

A função de densidade marginal para \(x\) pode ser calculada da seguinte forma:

\(f(x)=\int_D f(x,y)dy\)

O que para o caso específico é o seguinte:

\(f(x)=\int_{-x}^x \frac{1}{8}(x^2-y^2)e^{-x} dy\)
\(f(x)=\int_{-x}^x \frac{1}{8}(x^2e^{-x}-y^2e^{-x}) dy\)
\(f(x)=\frac{1}{8}(x^2e^{-x}y - \frac{y^3}{3}e^{-x})\rvert_{-x}^x\)
\(f(x)=\frac{1}{8}[(x^2e^{-x}x - \frac{x^3}{3}e^{-x})-(x^2e^{-x}(-x) - \frac{(-x)^3}{3}e^{-x})] \)
\(f(x)=\frac{1}{8}[(x^3e^{-x} - \frac{x^3}{3}e^{-x}) - (-x^3e^{-x} + \frac{x^3}{3}e^{-x})] \)
\(f(x)=\frac{1}{8}[2x^3e^{-x} - \frac{2}{3}x^3e^{-x}] \)
\(f(x)=\frac{1}{6}x^3e^{-x} \)

A função de densidade marginal para \(y\) pode ser calculada da seguinte forma:

\(f(y)=\int_D f(x,y)dx\)

Sobre o domínio, se do ponto de vista da variação de \(y\) tinha-se:

\[ -x = g(x) \leq y \leq f(x) = x\]

Do ponto de vista da variação de \(x\) teremos:

\[x \in [\left|y\right|, \infty]\]

A função de densidade marginal para o caso específico é então a seguinte:

\(f(y)= \int_{\left|y\right|}^\infty \frac{1}{8}(x^2-y^2)e^{-x} dx \)
\(f(y)= \frac{1}{8}\int_{\left|y\right|}^\infty (x^2-y^2)e^{-x} dx \) (5)

Usando da integração por partes pode-se calcular o termo em (5):

\(\int{\left|y\right|}^\infty (x^2-y^2)e^{-x} dx = -(x^2-y^2)e^{-x}\rvert{\left|y\right|}^\infty -
\int{\left|y\right|}^\infty -2xe^{-x} dx\)
\(\int
{\left|y\right|}^\infty (x^2-y^2)e^{-x} dx = -(x^2-y^2)e^{-x}\rvert{\left|y\right|}^\infty +2
\int
{\left|y\right|}^\infty xe^{-x} dx\)

Onde:

\(-(x^2-y^2)e^{-x}\rvert_{\left|y\right|}^\infty = [\lim_{x\to\infty} -(x^2-y^2)e^{-x}] - [-(\left|y\right|^2-y^2)e^{-\left|y\right|}] = 0\)

Então:

\(\int_{\left|y\right|}^\infty (x^2-y^2)e^{-x} dx = 2\int_{\left|y\right|}^\infty xe^{-x} dx\) (6)

Vamos então calcular a integral em (6) pelo mesmo método:

\(\int{\left|y\right|}^\infty xe^{-x} dx = -xe^{-x}\rvert{\left|y\right|}^\infty -
\int_{\left|y\right|}^\infty -e^{-x} dx\)

Onde:

\(-xe^{-x}\rvert_{\left|y\right|}^\infty = [\lim_{x\to\infty} -xe^{-x}] - [-\left|y\right|e^{-\left|y\right|}] = \left|y\right|e^{-\left|y\right|} \)

E,

\(\int_{\left|y\right|}^\infty e^{-x} dx = -e^{-x}\rvert_{\left|y\right|}^\infty = [\lim_{x\to\infty} -e^{-x}] - [-e^{-\left|y\right|}] = e^{-\left|y\right|} \)

Então,

\(\int_{\left|y\right|}^\infty xe^{-x} dx = \left|y\right| e^{-\left|y\right|} + e^{-\left|y\right|} = (\left|y\right|+1)e^{-\left|y\right|}\) (7)

Substituindo (7) em (6) e (6) em (5), tem-se:

\(f(y)= \frac{1}{4}(\left|y\right|+1)e^{-\left|y\right|} \)

Item c:

A função de densidade condicional de \(x\) dado \(y\) pode ser calculada da seguinte forma:

\(f(x|y) = \frac{f(x,y)}{f(y)}\)

O que para o caso específico é o seguinte:

\(f(x|y) = \frac{\frac{1}{8}(x^2-y^2)e^{-x}}{\frac{1}{4}(\left|y\right|+1)e^{-\left|y\right|}}\)
\(f(x|y) = \frac{1}{2}\frac{(x^2-y^2)e^{-x}}{(\left|y\right|+1)e^{-\left|y\right|}}\)

A função de densidade condicional de \(y\) dado \(x\) pode ser calculada da seguinte forma:

\(f(y|x) = \frac{f(x,y)}{f(x)}\)

O que para o caso específico é o seguinte:

\(f(y|x) = \frac{\frac{1}{8}(x^2-y^2)e^{-x}}{\frac{1}{6}x^3e^{-x}}\)
\(f(y|x) = \frac{3}{4}\frac{x^2-y^2}{x^3}\)

comentou Mai 24 por danielcajueiro (5,581 pontos)  
Seria interessante evitar colocar a referência a fonte da questão no título, mas sim colocar o enunciado ou um título ou uma manchete para a questão. A referencia para o livro pode vir na caixa de texto abaixo.
comentou Mai 25 por João Isidio (26 pontos)  
A adaptação não foi das melhores. Mas não ficava bom colocar todo enunciado da questão no título.
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