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Teorema do limite central e erro de arredondamento

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perguntada Mai 9 em Economia por CICERO FILHO (26 pontos)  
editado Mai 24 por CICERO FILHO

O teorema do limite central pode ser usado para analisar o erro de arredondamento. Suponha que o erro seja representado por uma variável aleatória uniforme em:

\[[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}]\]

Se 100 números forem adicionados, encontre a probabilidade de que o erro de arredondamento exceda (a) 1, (b) 2, e (c) 3.

Referência: Exercício 12 - Cap 5 - Mathematical Statistics and Data Analysis - John Rice

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1 Resposta

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respondida Mai 9 por CICERO FILHO (26 pontos)  

Dado que: \[x_{1,}x_{2,}....x_{100,}\]

são variáveis uniformes randômicas em:

\[\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]\]

onde, cada uma representa o round-off error no x-ésimo número.

Além disso, sendo:

\[S_{100}=\sum_{i=1}^{100}x_i\]

o total round-off error quando todos os 100 números são adicionados, precisamos encontrar:

\[P\left(S_{100}>x\right),\]

Dado que n=100, então pelo teorema do limite central temos:

\[\frac{S_{100}-100E\left(x_1\right)}{\sqrt{100Var\left(x_1\right)}}\ \ {_\approx^D}\ \ N(0;1)\]

Onde D indica que a aproximação é uma distribuição.

Desde que todos os "x's" sejam uniformes em:

\[\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]\]

então a função de densidade é:

\[ fx_1\left(x\right)=\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1,\ x\in\ \left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]\]

Logo, o valor esperado é:

\[E\left(x_1\right)=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{xfx_1\left(x\right)dx=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{x1dx=\frac{1}{8}-\frac{1}{8}=0}}\]

O segundo momento é:

\[E\left(x_i^2\right)=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}x^2fx_1\left(x\right)dx=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}x^21dx=\frac{1}{24}+\frac{1}{24}=\frac{1}{12}\]

E a variância é:

\[Var\left(x_1\right)=E\left(x_1^2\right)-\left[E\left(x_1\right)\right]^2=\frac{1}{12}-0^2=\frac{1}{12}\]

Portanto:

\[P\left(S_{100}>0\right)=P\left(\frac{S_{100}-100E\left(x_1\right))}{\sqrt{100Var\left(x_1\right)}}>\frac{x-100E\left(x_1\right))}{\sqrt{100Var\left(x_1\right)}}\right)\]

\[=P\left(\frac{S_{100}-100E\left(x_1\right))}{\sqrt{100Var\left(x_1\right)}}>\frac{x-100\times0}{\sqrt{100\times\frac{1}{12}}}\right)\]

\[=P\left(\frac{S_{100}-100E\left(x_1\right))}{\sqrt{100Var\left(x_1\right)}}>\frac{x}{2,887}\right)\]

\[=1-P\left(\frac{S_{100}-100E\left(x_1\right))}{\sqrt{100Var\left(x_1\right)}}\le\frac{x}{2,887}\right)\]

\[\approx1-\Phi\left(\frac{x}{2,887}\right)\]

Assim,

Para x=1, esse valor deve ser substituído na fórmula para a probabilidade desejada dos rendimentos:

\[P\left(S_{100}>1\right)\approx1-\Phi\left(\frac{1}{2,887}\right)=1-\Phi\left(0,35\right)=1-0,6368=0,3632\]

Para x=2:
\[P\left(S_{100}>2\right)\approx1-\Phi\left(\frac{2}{2,887}\right)=1-\Phi\left(0,69\right)=1-0,7549=0,2451\]

Para x=5:
\[P\left(S_{100}>5\right)\approx1-\Phi\left(\frac{5}{2,887}\right)=1-\Phi\left(1,73\right)=1-0,9582=0,0418\]

comentou Mai 17 por João Coutinho (21 pontos)  
Está excelente a sua resolução do problema, Cicero! A que fiz está praticamente igual à sua.
Eu acho a resolução deste exercício interessante porque é um exemplo muito claro de como utilizar uma aproximação pelo teorema do limite central de uma distribuição diferente da normal.
comentou Mai 24 por danielcajueiro (5,581 pontos)  
Seria interessante evitar colocar a referência a fonte da questão no título, mas sim colocar o enunciado ou um título ou uma manchete para a questão. A referencia para o livro do pode vir na caixa de texto abaixo.
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