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Transformação estabilizadora da variância

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perguntada Mai 10 em Economia por CICERO FILHO (26 pontos)  
editado Mai 24 por CICERO FILHO

Supondo que \(E\left(x\right)=\mu\) e \(Var\left(x\right)=c\mu^2\) , onde “c” é uma constante. Encontre a transformação estabilizadora da variância.

Referência: Exercício 38 - Cap 9 - Mathematical Statistics and Data Analysis - John Rice

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1 Resposta

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respondida Mai 10 por CICERO FILHO (26 pontos)  

Dado que:

\(E\left(x\right)=\mu e Var\left(x\right)=c\mu^2\) , onde “c” é uma constante.

\(f\left(x\right)\) é a variância estabilizadora e \(y=f\left(x\right)\).

Sabemos que:

\(Var\left(y\right)=\sigma^2\left(\mu\right)\left[f\ '\left(\mu\right)\right]^2\)

\(=c\mu^2\left[f\ '\left(\mu\right)\right]^2\)

Dado que \(\sigma^2\mu=c\mu^2\), sabemos pela função estabilizadora \(Var\left(y\right)\), tem de ser constante.

Então:

\(Var\left(y\right)=d\)

Logo:

\(c\mu^2\left[f\ '\ \left(\mu\right)\right]^2=d\)

\(f\ '\ \left(\mu\right)=\sqrt{\frac{d}{c}\ }\ \frac{1}{\mu}\)

\(f\ \left(\mu\right)=\sqrt{\frac{d}{c}\ }\left[\log_e{\mu}\ +\log_e{k}\right]\)

\(=\ \sqrt{\frac{d}{c}\ }\ \log_e{\mu}k\)

onde “k” é uma constante integral.

Dessa forma a função \(f\ \left(x\right)=\sqrt{\frac{d}{c}\ }\ \log_e{xk}\), é a transformação estabilizadora da variância.

Portanto, “d”, “c” e “k” são constantes.

comentou Mai 21 por Ricardo Saldanha (1 ponto)  
Parabéns, Cícero! Muito boa resposta.
Vale mencionar que a transformação que estabiliza a variância é uma ferramenta útil quando queremos avaliar se uma base de dados segue determinada distribuição (vd. Rice p. 349, Hanging Rootograms). O procedimento envolve encontrar uma função \(f\) aproximadamente linear. \(f\) é linearizada por uma Expansão de Taylor até o primeiro grau. Depois se avalia a variância dessa versão linearizada de \(f\). Daí a expressão da \(Var(y)\), bem colocada pelo Cícero. Esse método é chamado de Propagação de Erro ou Método \(\delta\) (vd. Rice p. 161-2).
Eu levantaria apenas alguns pequenos detalhes:
No lugar de \(k\), como foi informado, a constante da integral foi definida por conveniência como \(ln(k)\), correto?
Eu acrescentaria as condições \(d/c \geq 0\) e \(c \neq 0\).
Para quem for pesquisar a referência em Rice, o exercício resolvido na verdade é o 48 do cap. 9, em vez do 38 (ao menos na 3ª edição, de 2006, à qual eu tenho acesso).
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