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Ache os pontos críticos de $f(x,y)=x^2y-2xy^2 +3xy +4$. Teste se esses pontos são pontos de máximo, mínimo ou sela.

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perguntada Mai 12 em Matemática por danielcajueiro (5,581 pontos)  

Marque a alternativa VERDADEIRA.

(a) Essa função possui 3 pontos críticos.

(b) Essa função possui apenas um ponto de sela.

(c) Essa função possui apenas um ponto de máximo local.

(d) Essa função possui apenas um ponto de mínimo local.

(e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.

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1 Resposta

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respondida Mai 12 por danielcajueiro (5,581 pontos)  

Vou seguir o procedimento apresentado nessa resposta.

1) Derive a função em relação a todas as coordenadas e iguale essas derivadas a zero:

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2xy-2y^2+3y=0\), \(\frac{\partial f}{\partial y}=x^2-4xy+3x=0\)

2) Encontre as soluções do sistema de equações:

Note que esse sistema de equações tem 4 soluções:

P1: (0,0)

P2: (-3,0)

P3: (0,3/2)

P4: (-1,1/2)

3) Calcule a matriz de segundas derivadas da função:

\[H=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\left[\begin{array}{cc} 2y & 2x-4y+3 \\ 2x-4y+3 & -4x\end{array} \right]\]

4) Substitua o ponto encontrado no ítem (2) na matriz hessiana encontrada em (3) e teste para cada caso se a matriz é positiva definida, negativa definida ou indefinida.

\[H_{(0,0)}=\left[\begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 3 & 0\end{array} \right]\]
com

\(|H_1|=0\)

\(|H_2|=-9\)

que é um ponto de sela.

\[H_{(-3,0)}=\left[\begin{array}{cc} 0 & -3 \\ -3 & 12\end{array} \right]\]
com

\(|H_1|=0\)

\(|H_2|=-9\)

que é um ponto de sela.

\[H_{(0,3/2)}=\left[\begin{array}{cc} 3 & -3 \\ -3 & 0\end{array} \right]\]
com

\(|H_1|=0\)

\(|H_2|=-9\)

que é um ponto de sela.

\[H_{(-1,1/2)}=\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 4\end{array} \right]\]
com

\(|H_1|=1\)

\(|H_2|=3\)

que é um ponto de mínimo.

Logo, a resposta é (d).

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