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Mostre que a distribuição binomial pertence à família exponencial

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respondida Mai 15 por Mihalis E. Yacalos (1 ponto)  

Consideremos a distribuição binomial com um número n de tentativas conhecido. A função densidade de probabilidade é:

A imagem será apresentada aqui.

Isso também pode ser escrito de forma equivalente como:

A imagem será apresentada aqui.

O que mostra que a distribuição binomial pertence à família exponencial, em que o seu parâmetro natural é:

A imagem será apresentada aqui.

comentou Mai 21 por João Isidio (26 pontos)  
Caro Mihalis, tentei resolver de forma mais explícita o problema:

Uma família de funções de densidade de probabilidade é chamada de família exponencial se puder ser expressa como:

\[f(x|\theta) = h(x)c(\theta)e^{\sum_{i=1}^k w_i(\theta)t_i(x)}\]

Onde \(h(x)\) e \(t_i(x)\) são funções reais de \(x\), mas que não dependem de \(\theta\). Enquanto que \(c(\theta)\) e \(w_i(\theta)\) são funções de \(\theta\) que não dependem de \(x\).

Seja a função de probabilidade binomial para \(n\) inteiro positivo, \(x = 0,...,n\) e \(p \in [0,1]\) a seguinte:

\[f(x|p) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\]

Rearranjando os termos:

\[f(x|p) = \binom{n}{x}(\frac{p}{1-p})^x(1-p)^{n}\]

Usando o fato de que \(x = e^{\ln(x)}\):

\[f(x|p) = \binom{n}{x}(1-p)^{n}e^{x\ln(\frac{p}{1-p})}\]

Definindo-se então as seguintes funções:

\[
h(x) =
  \begin{cases}
      \binom{n}{x}, & x = 0,...,n \\
      0, & c.c.
  \end{cases}
\]

\[c(p)=(1-p)^{n}\]
\[w(p)=ln(\frac{p}{1-p})\]
\[t(x)=x\]

Concluí-se que:

\[f(x|p) = h(x)c(p)e^{w(p)t(x)}\]

Ademais, no que diz respeito a indicação da fonte da questão, creio que esta é indispensável. Você pode menciona-la ao final da pergunta. Lembre-se de que estas resoluções ficarão à disposição de usuários que não terão acesso a planilha de questões.
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