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Obtendo as densidades conjunta e marginais a partir da cdf

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perguntada Mai 17 em Estatística por Caio Oliveira Dantas (16 pontos)  
editado Mai 19 por Caio Oliveira Dantas

Exercício 7 do capítulo 3 do livro "Mathematical Statistics and Data Analysis" de John A. Rice Terceira Edição.

Encontre as densidades conjunta e marginais correspondentes à função distribuição acumulada
\[F(x, y)=\left(1-e^{-\alpha x}\right)\left(1-e^{-\beta y}\right), x \geq 0, y \geq 0, \alpha>0, \beta>0.\]

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1 Resposta

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respondida Mai 17 por Caio Oliveira Dantas (16 pontos)  
editado Mai 17 por Caio Oliveira Dantas

A função densidade conjunta, função densidade de probabilidade conjunta, ou simplesmente densidade conjunta, é a derivada da função distribuição acumulada (cdf) em relação a ambas variáveis. Seja \(f(x,y)\) a função densidade conjunta,
\begin{array}{c}
f(x, y)=\frac{d}{d x} \frac{d}{d y} F(x, y)=\frac{d}{d x} \frac{d}{d y} (1-e^{-\alpha x}-e^{-\beta y}+e^{-\alpha x} e^{-\beta y} )\\
=\frac{d}{d x} (\beta e^{-\beta y}-\beta e^{-\alpha x} e^{-\beta y})\\
=\alpha \beta e^{-\alpha x} e^{-\beta y}\\
=\alpha \beta e^{-\alpha x-\beta y}
\end{array}
A densidade marginal de cada variável é a integral da densidade conjunta em relação às demais variáveis aleatórias (neste caso, só uma) ao longo de seus espaços amostrais. Ou seja, a densidade marginal de x é

\[ f_{X}(x)=\int_{0}^{+\infty} f(x, y) d y=\int_{0}^{+\infty} \alpha \beta e^{-\alpha x-\beta y} d y \\ =\alpha \beta e^{-\alpha x} \int_{0}^{+\infty} e^{-\beta y} d y \\ =\left.\alpha \beta e^{-\alpha x}\left(-\frac{e^{-\beta y}}{-\beta}\right)\right|_{0} ^{+\infty} \\ =\alpha \beta e^{-\alpha x} \frac{e^{-0}}{\beta} \\ =\alpha e^{-\alpha x} \]

e a densidade marginal de y é
\[ f_{Y}(y)=\int_{0}^{+\infty} f(x, y) d x=\int_{0}^{+\infty} \alpha \beta e^{-\alpha x-\beta y} d x \\ =\alpha \beta e^{-\beta y} \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} d x \\ =\left.\alpha \beta e^{-\beta y}\left(-\frac{e^{-\alpha x}}{-\alpha}\right)\right|_{0} ^{+\infty} \\ =\alpha \beta e^{-\beta y} \frac{e^{-0}}{\alpha} \\ =\beta e^{-\beta y}. \]

comentou Mai 19 por Edson Toledo Neto (16 pontos)  
editado Mai 19 por Edson Toledo Neto
Caio, respondeu muito bem a questão, simples e objetivo, a solução da questão traz os conceitos básicos em torno da determinação da função densidade.
Essa questão ainda é muito importante, no que tange à sua aplicação na economia, considerando que a principal linha de desenvolvimento de curvas de produção, a curva Cobb-Douglas tem características exponenciais, cuja solução depende do tratamento matemático apresentado por vc.
Inclusive, considero que usou muito apropriadamente a relação densidade marginal de y se refere à distribuição de probabilidades no conjunto Y.
Da mesma forma, a relação da variável x em relação a y no conjunto de possibilidades representado pelo conjunto X.
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