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Teorema central do limite e distribuição Poisson

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perguntada Mai 17 em Estatística por Caio Oliveira Dantas (16 pontos)  
editado Mai 19 por Caio Oliveira Dantas

Exercício 11 do capítulo 5 do livro "Mathematical Statistics and Data Analysis" de John A. Rice Terceira Edição.

Um cético faz o seguinte argumento para mostrar que deve haver uma falha no teorema central do limite: "Sabemos que a soma de variáveis aleatórias Poisson segue uma distribuição Poisson com um parâmetro que é a soma dos parâmetros das variáveis originais. Em particular, se n variáveis aleatórias Poisson independentes, cada uma com parâmetro \(n^{-1}\) , forem somadas, então a soma terá distribuição Poisson com parâmetro 1. O teorema central do limite diz que conforme n vai pro infinito, a distribuição da soma tende a uma distribuição normal, mas a Poisson de parâmetro 1 não é a normal." O que você acha desse argumento?

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1 Resposta

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respondida Mai 17 por Caio Oliveira Dantas (16 pontos)  

O teorema central do limite de Lindeberg–Lévy (clássico) diz que, se \({X_1,...,X_n}\) é uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. com \(E[X_i]=\mu\) e \(Var[X_i]=\sigma^2 < \infty\), então conforme \(n\) tende ao infinito, as variáveis aleatórias \(\sqrt{n}(\bar{X}_n-\mu)/\sigma\) convergem em distribuição para a normal padrão. Temos que
\[\sqrt{n}(\bar{X}_n-\mu)/\sigma=(S_n-n\mu)/(\sigma\sqrt{n})\]
onde
\[S_n=\sum_{i=1}^{n}{X_i}.\]

Encaixando o exemplo em questão na notação acima, fica claro que os pressupostos do teorema não são atendidos, pois os parâmetros das variáveis que compõem a soma não são constantes. O argumento não demonstra falha no teorema central do limite.

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