Um processo de Poisson \(N(t)\) conta o numero de chegadas, hasta o tempo \(t\), de eventos discretos e independentes. O processo é caracterizado pelo parâmetro \( \lambda\) que indica a taxa em que os eventos ocorrem; os tempo de espera entre um evento \(n\) e \(n+1\) tem uma distribuição exponencial com média \( 1/ \lambda \).
Como \( P([N(t)]=k) = e^{- \lambda t} ( \lambda t)^K/K! \), segue uma distribuição de Poisson com párametro \( \lambda t\).
O número esperado e variância de eventos ate o tempo \(t\) son
\(E(N(t)) = \ \lambda t\)
\(V(N(t)) = \ \lambda t\)
Lembrado que os eventos som independentes e que a distância entre eles segue uma distribuição exponencial, e que os investimentos também som independentes donde cada quantia possui uma distribuição exponencial, podemos falar que o número esperado de investidores para conseguir M reais e
\(E(N(M)+1) = \lambda \ M+1 \),
donde \(E(N(M)) \)indica o numero de inversores antes de chegar a \(M\), portanto adicionamos um investidor a mais para completar \(M\).
A variância,
\(V(N(M)+1)= V(N(M))= \lambda \ M \)
Finalmente devemos ajustar nossa resposta já que o problema fala que os investimentos têm uma distribuição exponencial com média \(\lambda\), mas a nossa solução considera que os tempo de espera entre dois evento consecutivos tem uma distribuição exponencial com média \( 1/ \lambda \). Portanto
\(E(N(M))+1 = 1/ \lambda \ M+1 \)
\(V(N(M)+1) = 1/ \lambda \ M\)