De quantos investidores eu preciso?

Question

Suponha que preciso de \(M\) reais para financiar minha empresa através de investidores externos que sucessivamente são apresentados a ela. Cada investidor (independente um do outro) investe na empresa uma quantia que possui uma distribuição exponencial com média \(\lambda\). Qual a distribuição, média e variância do número necessário de investidores que sucessivamente investem na empresa até que eu consiga os \(M\) reais necessários para fundar minha empresa?

Answer 1

Um processo de Poisson \(N(t)\) conta o numero de chegadas, hasta o tempo \(t\), de eventos discretos e independentes. O processo é caracterizado pelo parâmetro \( \lambda\) que indica a taxa em que os eventos ocorrem; os tempo de espera entre um evento \(n\) e \(n+1\) tem uma distribuição exponencial com média \( 1/ \lambda \).

Como \( P([N(t)]=k) = e^{- \lambda t} ( \lambda t)^K/K! \), segue uma distribuição de Poisson com párametro \( \lambda t\).

O número esperado e variância de eventos ate o tempo \(t\) son
\(E(N(t)) = \ \lambda t\)
\(V(N(t)) = \ \lambda t\)

Lembrado que os eventos som independentes e que a distância entre eles segue uma distribuição exponencial, e que os investimentos também som independentes donde cada quantia possui uma distribuição exponencial, podemos falar que o número esperado de investidores para conseguir M reais e
\(E(N(M)+1) = \lambda \ M+1 \),
donde \(E(N(M)) \)indica o numero de inversores antes de chegar a \(M\), portanto adicionamos um investidor a mais para completar \(M\).

A variância,
\(V(N(M)+1)= V(N(M))= \lambda \ M \)

Finalmente devemos ajustar nossa resposta já que o problema fala que os investimentos têm uma distribuição exponencial com média \(\lambda\), mas a nossa solução considera que os tempo de espera entre dois evento consecutivos tem uma distribuição exponencial com média \( 1/ \lambda \). Portanto

\(E(N(M))+1 = 1/ \lambda \ M+1 \)
\(V(N(M)+1) = 1/ \lambda \ M\)

Comments

Sua solução é muito mais simples e direta do que aquela que pensava. Veja a minha solução para essa resposta.

Answer 2

Seja \(m^i\), \(i=1,2,\cdots\) o valor investido por cada investidor sucessivo que a conhece. Logo o valor total que recebo para financiar minha empresa é \(\sum_{i=1}^{n}m^i\). Logo, no problema, desejo caracterizar a variável

\[N=\min (S_n\ge M \text{ tal que } n\ge 1).\]

Definindo \(m\) o valor que ainda preciso para financiar minha empresa, então \(p(n/m)\) é a probabilidade de que \(n=N\) quando ainda preciso de \(m\).

Note que se \(m^1>m\), então \(N=1\) e \(P(m^1\ge m)=\int_{m}^{\infty}\lambda\exp{(-\lambda x)}dx=\exp{(-\lambda m)}\).

Por outro lado, se \(N\gt 1\), temos a seguinte recursão:

\[p(n/m)=\int_{0}^{m}\lambda \exp{(-\lambda x)}p(n-1/m-x)dx.\]

Finalmente, note que a solução normalmente é achada chutando um forma funcional para \(p(n/m)\) que como foi explorada na solução de santiago é dada por uma Poisson.

Comments

Achei muito interessante a sua solução já não parte dum modelo probabilístico.