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Escreva a soma dos primeiros \( n \) ímpares inteiros em notação \( sigma \), e simplique.

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perguntada Ago 19 em Matemática por VITOR B BORGES (1 ponto)  

A pergunta correponde ao exercício 3.5 localizado na página 101 na seção 4 do Capítulo 3 do livro "Runtime Analysis of Recursive Algorithms" de Manuel Rubio-Sánchez. O resultado deve ser um polinômio bem conhecido.

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1 Resposta

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respondida Ago 19 por VITOR B BORGES (1 ponto)  

Para começar, o problema pede para que escrevamos a soma dos \( n\) primeiros números ímpares. O \( n-ésimo \) número ímpar é dado pela fórmula:
\[ N_{ímpar} = 2 \cdot n + 1 \]

Aplicando a notação do somatório:

\[ \sum_{i=0}^{n - 1} 2 \cdot i + 1 \]

, ficamos com a soma dos \( n \) primeiros ímpares, note que deslocamos os índices do \( i \) e do \( n \), pois se \( i = 1 \), o primeiro termo da soma seria \( 2 \cdot 1 + 1 = 3 \), que não é o primeiro ímpar, precisamos então que o \( i \) comece do 0 para que o primeiro termo da soma seja o primeiro número ímpar \( (1) \).

Deslocamos também o \( n - 1 \), pois se deixássemos o n lá em cima, teríamos a soma dos \( n + 1 \) primeiros números ímpares, o que não foi pedido.

Iremos usar agora a propriedade de operador linear do somatório para manipular a expressão:

\[ \sum_{i=0}^{n - 1} 2 \cdot i + 1 = \sum_{i=0}^{n - 1} 2 \cdot i + \sum_{i=0}^{n - 1} 1 \]
como entre \( 0 \) e \( n - 1 \) temos n números, se somarmos o número \(1, n\) vezes o resultado é o próprio n.

\[ \sum_{i=0}^{n - 1} 2 \cdot i + \sum_{i=0}^{n - 1} 1 = \sum_{i=0}^{n - 1} 2 \cdot i + n \]

Iremos utilizar agora um método parecido com a soma gaussiana para descobrir a soma de todos os pares menores que \( n - 1 \).

\[ S_{n} = \sum_{i=0}^{n - 1} 2 \cdot i \]

\[ S_{n} = 2 \cdot0 + 2\cdot1 + 2\cdot2 + ... +2 \cdot (n - 3) + 2 \cdot (n - 2) + 2 \cdot (n - 1) \\ = 0 + 2 + 4 + ... + 2(n - 3) + 2(n - 2) + 2(n - 1) \]

reorganizando temos:

\[ S_{n} = 0+ 2(n - 1) + 2+ 2(n - 2)+ ... + 2(n - 2) + 2 + 2(n - 1) + 0 \\ (0+ 2(n - 1)) + (2+ 2(n - 2))+ ... + (2(n - 2) + 2) + (0+ 2(n - 1)) \]

que nada mais é que

\[ S_{n} = (2n - 2) + (2+ 2n - 4)+ ... + (2n - 4 + 2) + (2n - 2) \\ = (2n - 2) + (2n - 2) +...+(2n - 2) + (2n - 2) , \: repetido \: \frac{n}{2} \: vezes \]

Nossa soma \( S_{n} \) se resume então à

\[ S_{n} = (2n - 2) \cdot \frac{n}{2} = (n - 1) \cdot n \]

que é a soma dos números pares, para acharmos a dos ímpares temos que somar \( n \) e simplificar ainda mais.

\[ (n - 1) \cdot n + n = n^2 - n + n = n^2 \]

\[ CONCLUSÃO: \sum_{i=0}^{n - 1} 2 \cdot i + 1 = n^2 \]

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