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Transformação linear de um espaço de matrizes em um espaço de polinômios

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perguntada Set 11 em Matemática por danielcajueiro (5,486 pontos)  

Seja \(V\) o espaço vetorial de matrizes de ordem \(2 \times 2\) e \(\mathcal{P}_3\) o espaço vetorial de polinômios reais de grau 3 ou menos. Defina a transformação linear \(T: V \rightarrow \mathcal{P}_3\) dada por

\[T\left(\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d\\ \end{array}\right]\right) =2a+(b-d)x-(a+c)x^2+(a+b-c-d)x^3\].

A dimensão do núcleo de \(T\) é

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

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1 Resposta

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respondida Set 11 por danielcajueiro (5,486 pontos)  

Note que para pertencer ao núcleo de \(T\) precisamos ter

\[2a+(b-d)x-(a+c)x^2+(a+b-c-d)x^3=0+0x+0x^2+0x^3\]

Logo, temos que \(a=0\), \(b=d\) e \(c=0\). Logo, os elementos do núcleo são

\[\left[\begin{array}{cc} 0 & d \\ 0 & d\\ \end{array}\right]=d\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 1\\ \end{array}\right],\] que possui uma dimensão.

A resposta correta é a (b).

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