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Condições para uma função ser côncava ou convexa

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perguntada Out 22 em Matemática por danielcajueiro (5,501 pontos)  

Considere a função \(f:\mathbb{R}^{2}_{+} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por
\(f(x,y)=4x^a y^b-x-y\), onde \(a\) e \(b\) são números reais e positivos. Marque a alternativa FALSA:

(a) Se \(a>1\) ou \(b>1\), a função não é côncava nem convexa.

(b) Se \(a+b<1\), a matriz hessiana é negativa definida.</p>

(c) Se \(a=b=0.5\), a matriz hessiana é semi-negativa definida.

(d) A função \(f\) é homogênea para quaisquer valores positivos de \(a\) e \(b\).

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1 Resposta

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respondida Out 22 por danielcajueiro (5,501 pontos)  

Para estudar a concavidade de uma função, o primeiro passo é construir a matriz Hessiana (matriz de segundas derivadas):

\[H=\left[ \begin{array}{cc} 4a(a-1)x^{a-2}y^b & 4abx^{a-1}y^{b-1}\\ 4abx^{a-1}y^{b-1} & 4b(b-1)x^a y^{b-2}\\ \end{array} \right]\]

Depois precisamos testar o que ocorre com a (semi) positividade ou (semi) negatividade dessa matriz.

Note que o determinante do primeiro menor principal é dado por

\(|H_1|=4a(a-1)x^{a-2}y^b\)

\(|H_2|=|H|=16ab(1-a-b)x^{2a-2}y^{2b-2}\)

Caso 1: \( a+b\lt 1\)

Então, \(|H_1|\lt 0\) e \(|H_2|\gt 0\). Logo, a matriz \(H\) é negativa definida e a função é estritamente-côncava.

Caso 2: \( a+b= 1\)

Então, \(|H_1|\lt 0\) e \(|H_2|= 0\). Nesse caso, para confirmar que a matriz é semi-negativa definida, precisamos testar a permutação de \(H\) dada por

\[H^\pi=\left[ \begin{array}{cc} 4 b(b-1)x^a y^{b-2} & 4abx^{a-1}y^{b-1}\\ 4abx^{a-1}y^{b-1} &4a(a-1)x^{a-2}y^b\\ \end{array} \right]\]

que por sua vez terá

\(|H^{\pi}_{1}|=4b(b-1)x^{a} y^{b-2}\)

\(|H^{\pi}_{2}|=|H^\pi|=|H|=16ab(1-a-b)x^{2a-2}y^{2b-2}\)

que também tem \(|H^{\pi}_{1}\lt 0\) e \(|H^{\pi}_{2}|= 0\).

Logo, a matriz \(H\) é semi-negativa definida e a função \(f\) é côncava.

Caso 3: \( a+b\gt 1\).

Então, \(|H_1|\lt 0\) e \(|H_2|\lt 0\). Logo, a matriz \(H\) NÃO é (semi) positiva nem (semi) negativa definida.

Por outro lado, note que a função não é homogênea pois

\(f(tx,ty)=4(tx)^a (ty)^b-tx-ty=t^{a+b}4x^ay^b +t(-x-y).\) A homegeneidade só é válida quando \(a+b=1\).

Logo, a alternativa falsa é (d).

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