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Problema de otimização

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perguntada Out 22 em Matemática por danielcajueiro (5,501 pontos)  

Considere a função \(f(x,y)=x^4 + y^4 -4xy-1\).
Teste se esses pontos são pontos de máximo, mínimo ou sela, usando as condições de segunda
ordem e propriedades das formas quadráticas. Marque a alternativa VERDADEIRA.

(a) Essa função possui 3 pontos críticos.

(b) Essa função não tem ponto de mínimo local.

(c) Essa função possui apenas um ponto de mínimo local.

(d) Essa função possui apenas um ponto de máximo local.

(e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.

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1 Resposta

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respondida Out 22 por danielcajueiro (5,501 pontos)  

Vou seguir o procedimento apresentado nessa resposta.

1) Derive a função em relação a todas as coordenadas e iguale essas derivadas a zero:

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=4x^3-4y=0\), \(\frac{\partial f}{\partial y}=4y^3-4x=0\)

2) Encontre as soluções do sistema de equações:

Note que esse sistema de equações tem 3 soluções:

P1: (0,0)

P2: (1,1)

P3: (-1,-1)

3) Calcule a matriz de segundas derivadas da função:

\[H=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\left[\begin{array}{cc} 12x^2 & -4 \\ -4 & 12y^2\end{array} \right]\]

4) Substitua o ponto encontrado no ítem (2) na matriz hessiana encontrada em (3) e teste para cada caso se a matriz é positiva definida, negativa definida ou indefinida.

\[H_{(0,0)}=\left[\begin{array}{cc} 0 & -4 \\ -4 & 0\end{array} \right]\]
com

\(|H_1|=0\)

\(|H_2|=-16\)

que é um ponto de sela.

\[H_{(1,1)}=\left[\begin{array}{cc} 12 & -4 \\ -4 & 12\end{array} \right]\]
com

\(|H_1|=12\)

\(|H_2|=128\)

que é um ponto de mínimo.

\[H_{(-1,-1)}=\left[\begin{array}{cc} 12 & -4 \\ -4 & 12\end{array} \right]\]
com

\(|H_1|=12\)

\(|H_2|=128\)

que é um ponto de mínimo.

Logo, a resposta é (a).

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