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O que é o limite de uma função? Como calcular o limite?

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perguntada Abr 21, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Considere que essa pergunta é feita no contexto de cálculo de uma variável real.

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1 Resposta

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respondida Abr 21, 2015 por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Seja uma função \(y=f(x)\).

O conceito do limite explora o comportamento da função \(f\) quando \(x\) se aproxima de uma constante \(c\). Estamos interessados no comportamento da função \(f\) quando quando \(x\) se aproxima de \(c\) denotado por \(x\rightarrow c\). Por exemplo, considere duas sequências

\[\{c- 1/n\}\]

e

\[c+1/n\]

quando \(n\rightarrow \infty\).

Note que ambas as sequências convergem para \(c\). Entretanto, a primeira converge pela esquerda (pois todos os valores são menores que \(c\)) e a segunda converge pela direita (pois todos os valores são maiores que \(c\)). O limite de uma função é o valor que a função se aproxima quando \(x\rightarrow c\). Note que \(x\) pode se aproximar de \(c\) de duas formas (pela direita e pela esquerda). Se os valores de \(f(x) \text{ quando, } x\rightarrow c,\) forem os mesmos nos dois casos, então esse é o valor do limite.

Por exemplo, considere a função

\[y=f(x)=x^2.\]

E calcule o limite quando \(x\rightarrow 0\). Note que se \(x\) converge para zero pela esquerda, \(x\) assume valores negativos \(-\delta\) muito próximos de zero. Nesse caso, \(y=f(-\delta)=\delta^2\) e quanto mais próximo de zero \(x\) for, mais próximo de zero \(y\) é. Por outro lado, se \(x\) converge para zero pela direita, \(x\) assume valores positivos \(\delta\) muito próximos de zero. Nesse caso, \(y=f(\delta)=\delta^2\) e quanto mais próximo de zero \(x\) for, mais próximo de zero \(y\) é. Logo, podemos concluir que o limite de \(f\) quando \(x\rightarrow 0\) é dado por 0.

É importante notar que não necessariamente o limite é exatamente igual ao valor da função no ponto \(x=0\). No exemplo acima, isso é verdade, mas considere agora o exemplo abaixo:

Seja uma função \(y=g(x)\) tal que \(y=g(0)=2\) e, para todos os outros pontos, \(y=f(x)=x^2\) como a função acima. Note que a mesma análise acima nos leva a concluir que o limite de \(g(x)\) quando \(x\rightarrow 0\) é zero.

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