Seja \(y=f(x)\) uma função. A derivada de uma função, denotada por \(\frac{dy}{dx}\) ,intuitivamente mede a taxa de variação de uma função em um determinado ponto. Basicamente, estamos interessados em calcular como variações de \(x\) causam variações de \(y\) ou, mais precisamente, na razão \(\frac{\Delta y}{\Delta x}.\)
Como calcular essa razão num ponto \(x=u\)?
Suponha que estamos querendo calcular o valor dessa taxa quando \(x\) varia de \(u\) para \(u+h\). Note que nesse caso, \(y\) variará de \(f(u)\) para \(f(u+h)\). Portanto, nesse caso, percebemos que \(\Delta x= h \) e \(\Delta y=f(u+h)-f(u)\) e estamos interessados em calcular a razão
\[\frac{f(u+h)-f(u)}{h}\]
Observe que se \(h\) for grande, no fim do dia, teremos pouca informação sobre o ponto \(u\) de interesse. Portanto, é interessante calcular essa razão para valores bem pequenos de \(h\). Mais precisamente quando \(h\rightarrow 0\), ou seja, no limite quando \(h\) tende para zero.
Exemplo: Considere que \(y=f(x)=x^2\).
Nesse caso, a razão acima se torna
\[\frac{(u+h)^2-(u)^2}{h}=\frac{h^2+ 2uh }{h}=h+2u\]
Finalmente, fazendo \(h\rightarrow 0\), chegamos a \(\frac{dy}{dx}(x=u)=2u\).
Formalmente, a derivada é definida como \(\frac{dy}{dx}(x=u)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(u+h)-f(u)}{h}\).