A regra da cadeia é uma fórmula para o cálculo da derivada da função composta.
Para especificar a notação, funções compostas são funções combinadas de forma que os argumentos de uma função são os valores retornados pela outra função como, por exemplo, \(F(x)=g(f(x))\). Ou seja, para se calcular o valor de \(F(x)\) primeiro calcula-se o valor \(y=f(x)\) e depois usa-se \(y\) para calcular o valor \(F(x)=g(f(x))=g(y)\).
Pode-se mostrar que a fórmula para se calcular a derivada de \(F(x\) é dada por
\[F\'(x)=g\'(f(x))f\' (x).\]
De fato, a prova é simples, pois precisa-se calcular todos os limites (derivadas), que existem pois assume-se que \(f\) e \(g\) são diferenciáveis.
Exemplo: Calcule a derivada de \(F(x)=\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{10}.\)
Defina \(f(x)=1+\frac{1}{x^2}\) e \(g(x)=x^{10}.\)
Note que \(f'(x)=\) e \(g'(x)=10x^9\).
Portanto, \(F'(x)=10\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^9 \times (-2x^{-3})=-\frac{20}{x^3}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^9. \)