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Como calcular a derivada da função inversa?

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perguntada Abr 22, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,356 pontos)  
recategorizado Abr 22, 2015 por danielcajueiro

Considere que a pergunta está sendo feita por uma estudante de um primeiro curso de cálculo diferencial.

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1 Resposta

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respondida Abr 22, 2015 por danielcajueiro (5,356 pontos)  

Antes de responder exatamente a pergunta, vamos tentar explicitar a notação.

O que é a função inversa?

Seja \(y=f(x)\). Para se definir a função inversa de \(f(x)\) precisa-se primeiro garantir que \(f(x)\) é inversível. Isso só ocorre quando cada \(y\) está associado a apenas um \(x\). Por exemplo, a função \(y=x^2\) não tem inversa em \(\Re\), pois qualquer valor \(y\) pode ser encontrado por valores positivos e negativos. Entretanto \(y=f(x)=x^3\) tem inversa que é dada por \(g(y)=y^{1/3}\). Quando a função tem inversa, define-se inversa de \(f(x)\) como a função \(g(y)\) tal que \(g(f(x))=1\).

Note que a definição usada de inversa NÃO É a definição usada para "recíproca" que é dada por \(1/f(x)\).

Como calcular a derivada da função inversa?

Pode-se mostrar que ela é dada por

\[g\'(y)=\frac{1}{f\'(y)}.\]

Exemplo: Considere por exemplo a função \(y=f(x)=x^3\). Então a derivada da função inversa de \(f(x)\) pode ser calculada de duas formas:

1) Calcule primeiro a inversa de f(x) que é dada por \(g(y)=y^{1/3}\). Derivando essa função chegamos a \(g'(y)=\frac{1}{3y^{2/3}}\).

2) Uma outra forma é diretamente da fórmula acima que usa o resultado de \(f'(x)=3x^2\).
Logo, \(g'(y)=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{f'(y^{1/3})}=\frac{1}{3(y^{1/3})^2}=\frac{1}{3y^{2/3}}\).

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