O que pode-se dizer sobre uma subsequência de uma sequência convergente?

Question

Seja uma sequência \(\{x_n\}\in\Re\).
Se \(\lim x_{n}=a\) então toda subseqüência de \(x_{n}\) converge para o elemento \(a\)?

Answer 1

Seja \((x_{n_{1}},\cdots,x_{n_{k}},\cdots)\) a subsequência. Dado qualquer bola aberta (intervalo aberto) \(I\) de centro \(a\), existe \(n_0\in\mathbb{N}\) tal que todos os termos \(x_n\), com \(n>n_0\), pertencem a \(I\). Em particular, todos os termos \(x_{n_{k}}\), com \(n_k>n_0\) também pertencem a \(I\). Logo \(\lim x_n=a\).

Comments

Então pode-se dizer que se lim Xn=a, toda subseqüência de xn converge para o elemento a? Não entendi se era uma pergunta ou uma afirmação, desculpa.

Retificação: Opa, já entendi, mas não consigo apagar o comentário

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Corrigido - coloquei um sinal de interrogação!