Duas matrizes cuja soma é igual ao produto comutam no produto?

Question

Sejam \(A\) e \(B\) duas matrizes quadradas tais que \(A+B=AB\). Então, podemos afirmar que \(A\) e \(B\) comutam?

Answer 1

Note que a intuição sugere que sim.

Formalmente, note que podemos reescrever \(A+B=AB\) como \(A+B-AB=0\).

Por outro lado, note que \((I-A)(I-B)=I-A-B+AB\) e usando a equação anterior chegamos a \((I-A)(I-B)=I\). Logo, \((I-A)\) é a inversa de \((I-B)\), pois multiplicando essa matriz por ela chegamos a identidade, e vice-versa.

Logo, podemos reescrever \((I-B)(I-A)=I\) que implica que \(BA=A+B\) que mostra o resultado.