Duas matrizes cuja soma é igual ao produto comutam no produto?

Question

Sejam \(A\) e \(B\) duas matrizes quadradas tais que \(A+B=AB\). Então, podemos afirmar que \(A\) e \(B\) comutam?

Answer 1

Note que a intuição sugere que sim.

Formalmente, note que podemos reescrever \(A+B=AB\) como \(A+B-AB=0\).

Por outro lado, note que \((I-A)(I-B)=I-A-B+AB\) e usando a equação anterior chegamos a \((I-A)(I-B)=I\). Logo, \((I-A)\) é a inversa de \((I-B)\), pois multiplicando essa matriz por ela chegamos a identidade, e vice-versa.

Logo, podemos reescrever \((I-B)(I-A)=I\) que implica que \(BA=A+B\) que mostra o resultado.

Comments

Professor, não entendi de onde veio essa equação (I-A).(I-B)=I-A-B+AB

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Professor, segue o calculo que eu fiz:

Equação 1:
A + B - AB = 0 *

Equação 2:

( I - A) ( I - B) = I^2 - IB - IA + AB

como I^2= I, IB= B, IA = A

I - B - A + AB
- ( I + B + A - AB)

Substituindo pela Equação 1, temos:

- ( I + 0 ) = - I

( I -A) (I-B) = -I

Por que então esse produto está descrito como positivo na resolução?

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(I−A)(I−B)=I−A−B+AB. Do enunciado A+B−AB=0. Segue que (I−A)(I−B)=I. Ok?