Como calcular o determinante de uma matriz onde a diagonal principal é igual a uma constante e o resto da matriz a outra constante?

Question

Calcule o determinante da seguinte matriz de ordem \(n\)

\[\left[\begin{array}{ccccc} a & b & b & \cdots & b\\ b & a & b & \cdots & b\\ b & b & a & \cdots & b\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a\\ \end{array}\right]\]

em função dos valores de \(a\), \(b\) e \(n\).

Answer 1

Some todas as linhas a primeira linha para obter (isso não altera o determinante)

\[\left[\begin{array}{ccccc} a +(n-1)b & a +(n-1)b & a +(n-1)b & \cdots & a +(n-1)b\\ b & a & b & \cdots & b\\ b & b & a & \cdots & b\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a\\ \end{array}\right]\]

Note que

\[\left|\begin{array}{ccccc} a +(n-1)b & a +(n-1)b & a +(n-1)b & \cdots & a +(n-1)b\\ b & a & b & \cdots & b\\ b & b & a & \cdots & b\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a\\ \end{array}\right|\\=(a+(n-1)b) \left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\ b & a & b & \cdots & b\\ b & b & a & \cdots & b\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a\\ \end{array}\right|.\]

Subtraia de todas as linhas a primeira linha multiplicada por \(b\) (também não altera o determinante), para chegar a

\[\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1& \cdots & 1\\ 0 & a-b & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & a-b & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a-b\\ \end{array}\right]\]

que é uma matriz triangular superior (cujo determinante pode ser calculado pelo produto da diagonal principal). Logo o determinante procurado é

\((a+(n-1)b)\times (a-b)^{n-1}\).