Como encontrar o subespaço de transformações lineares (matrizes) cujo o núcleo possui um determinado vetor?

Question

Seja \(v=(1,2)\) um vetor do \(\Re^2\). Seja \(M_{2}\) o espaço vetorial de matrizes de ordem \(2\times 2\).

a) Encontre o subespaço vetorial de matrizes de ordem \(2\times 2\) que para todo \(A\) pertencente a esse subespaço, \(v\) pertença ao núcleo da transformação linear \(T: \Re^2\rightarrow \Re^2\) definida por \(T(x)=Ax\).

b) Encontre uma base para esse subespaço.

c) Qual a dimensão desse subespaço?

Answer 1

a) O objetivo é encontrar o conjunto de matrizes que satisfaz \(Av=0\).

Logo, seja

\[A=\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right].\]

Estamos buscando \(a,b,c,d\) tais que \(Av=0\), ou seja,

\[a+2b=0\]

\[c+2d=0.\]

Logo, \(a=-2b\) e \(c=-2d\).

Portanto, qualquer elemento desse subespaço pode ser escrito como

\[\left[\begin{array}{cc} -2b & b \\ -2d & d \\ \end{array}\right]=b\left[\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right]+d\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ -2 & 1 \\ \end{array}\right].\]

b)
Logo, os vetores \(\left[\begin{array}{cc}
-2 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}\right]\) e \(\left[\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
-2 & 1 \\
\end{array}\right]\) formam uma base para esse subespaço.

c) A dimensão desse subespaço é 2.