Duas matrizes A e B satisfazem o binômio quadrático?

Question

Sejam \(A\) e \(B\) matrizes quaisquer de ordem \(n\), então \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)?

Answer 1

Esse resultado só é válido se as matrizes \(A\) e \(B\) comutarem, pois

\((A+B)^2=(A+B)(A+B)=A(A+B)+B(A+B)\)

\(=A^2+AB+BA+B^2\).

Logo, \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\) se, e somente se, \(AB=BA\) que só ocorre se as matrizes comutarem.