Concavidade:
Seja
\(f(x_1,\cdots,x_n)=c_1x_1+...+C_nx_n.\)
Precisamos provar que \(f(t(x_1,\cdots,x_n)+(1-t)(y_1,\cdots,y_n))\ge\) \( tf(x_1,\cdots,x_n)+(1-t)f(y_1,\cdots,y_n), \forall t\in [0,1]\)
Note que esse resultado é válido com igualdade, pois \(f\) é linear:
\(f(t(x_1,\cdots,x_n)+(1-t)(y_1,\cdots,y_n))=\) \( tf(x_1,\cdots,x_n)+(1-t)f(y_1,\cdots,y_n)\)
Para convexidade a prova é análoga.
Homogeneidade:
\(f(t(x_1,\cdots,x_n))=tf((x_1,\cdots,x_n)).\) Logo, por causa da linearidade, \(f\) é homogênea de grau 1.