Question

Toda função linear é homogênea, côncava e convexa? Prove.

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Colega, use apenas a definição de função linear f(x1,...,xn)=c1x1+...+Cnxn para checar as propriedades!

Answer 1

Concavidade:

Seja
\(f(x_1,\cdots,x_n)=c_1x_1+...+C_nx_n.\)

Precisamos provar que \(f(t(x_1,\cdots,x_n)+(1-t)(y_1,\cdots,y_n))\ge\) \( tf(x_1,\cdots,x_n)+(1-t)f(y_1,\cdots,y_n), \forall t\in [0,1]\)

Note que esse resultado é válido com igualdade, pois \(f\) é linear:

\(f(t(x_1,\cdots,x_n)+(1-t)(y_1,\cdots,y_n))=\) \( tf(x_1,\cdots,x_n)+(1-t)f(y_1,\cdots,y_n)\)

Para convexidade a prova é análoga.

Homogeneidade:

\(f(t(x_1,\cdots,x_n))=tf((x_1,\cdots,x_n)).\) Logo, por causa da linearidade, \(f\) é homogênea de grau 1.

Comments

É interessante notar que se a gente considerar o f(x,y), a função linear seria do tipo f(x,y) = a +bx + cy. E não podemos garantir que ela é homogênea de qualquer grau. Façam o teste. Façam o teste com a = 0. Neste caso ela seria homogênea de grau 1.

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Essa função não é formalmente chamada de linear formalmente. Essa função é chamada de afim. Acho que inclusive a matemática de ensino médio está mudando isso.