Se AB=A e BA=B, então A e B são idempotentes?

Question

Uma matriz \(C\) de ordem \(n\) é dita idempotente quando \(C^2=C\). Se duas matrizes \(A\) e \(B\) de ordem \(n\) satisfazem \(AB=A\) e \(BA=B\) então isso implica que \(A\) e \(B\) são idempotentes?

Answer 1

Note que se multiplicarmos a primeira equação \(AB=A\) por \(B\) pela esquerda, temos \(BAB=BA\Rightarrow (BA)B=(BA)\Rightarrow (B)B=B\), onde para conseguir a segunda implicação usamos a outra equação. Isso implica que \(B\) é idempotente. Podemos fazer o procedimento análogo na segunda equação para concluir que \(A\) também é idempotente.

Comments

Professor, obrigatoriamente essas duas matrizes seriam Identidade?

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Se ela for inversível: http://prorum.com/index.php/2436/uma-matriz-idempotente-inversivel-e-a-identidade?show=2436#q2436

Answer 2

Professor, o exercício poderia ser respondido dessa maneira?
AB=A (multiplicar B pela direita)
ABB = AB
AB² = AB (multiplicar A^-1 pela esquerda)
A^-1AB² = A^-1AB
Como A^-1A = I, temos:
IB² = IB
Logo, B² = B

Comments

Note que você está supondo que a matriz A é inversível e nada foi dito sobre isso!