Uma matriz \(C\) de ordem \(n\) é dita idempotente quando \(C^2=C\). Se duas matrizes \(A\) e \(B\) de ordem \(n\) satisfazem \(AB=A\) e \(BA=B\) então isso implica que \(A\) e \(B\) são idempotentes?
Note que se multiplicarmos a primeira equação \(AB=A\) por \(B\) pela esquerda, temos \(BAB=BA\Rightarrow (BA)B=(BA)\Rightarrow (B)B=B\), onde para conseguir a segunda implicação usamos a outra equação. Isso implica que \(B\) é idempotente. Podemos fazer o procedimento análogo na segunda equação para concluir que \(A\) também é idempotente.
Professor, o exercício poderia ser respondido dessa maneira? AB=A (multiplicar B pela direita) ABB = AB AB² = AB (multiplicar A^-1 pela esquerda) A^-1AB² = A^-1AB Como A^-1A = I, temos: IB² = IB Logo, B² = B
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