Question

Uma matriz multiplicada por sua transposta é uma matriz simétrica?

Answer 1

Note que \(B\) é simétrica se \(B = B'\). Seja \(B = AA'\), temos \(B' = (AA')' = A''A' = AA' = B\). Logo, \(AA'\) é simétrica.

Comments

Definição: A é simétrica se A'=A
Então (A.A')' deve ser igual a (A'.A)
Isso acontece?
SIm, pela propriedade da matriz transporta sabemos que, por exemplo, (A.A')' deve ser igual a A'.A.
Logo (A.A')' = A'.A.
Essa resolução está razoável? OU eu precisaria usar o B=(A.A') para demonstrar?

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Ok. Inclui o B para facilitar o entendimento.

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A multiplicaçao de A e A' é comutativa? AA'=A'A?

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Note que não é isso que estamos fazendo. Estamos aplicando transposição a um produto de matrizes.

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Professor, eu poderia justificar que a transposta de uma matriz A de ordem MxN é uma A de ordem NxM, logo a multiplicação resultaria em uma matriz de ordem MxM e portanto quadrada e simétrica?

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Entendi o que vc sugere, mas para mim o argumento não está claro que implica nesse resultado. O que vc sugere obviamente garante que é quadrada, mas porque seria simétrica?

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Toda matriz quadrada não é também simétrica?

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Uma matriz só é simétrica quando ela é igual a transposta. A matriz


\[    \left[  \begin{array}{cc}
            1 & 2\\
            3 & 4\\
            \end{array} \right]  \]
é quadrada, mas não é simétrica.

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Então, isso prova para todos os casos, uma matriz multiplicada por sua transposta é simétrica?

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Sim. É exatamente isso que estamos mostrando!