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Quantas vezes em média um dado deve ser lançado para que apareça pelo menos uma vez cada uma de suas faces?

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perguntada Mai 30, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,171 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Jun 1, 2015 por Henrique Souza (626 pontos)  
selecionada Jun 1, 2015 por danielcajueiro
 
Melhor resposta

A resposta é 14.7 lançamentos.
Esse resultado é fácil de se obter utilizando probabilidade. O evento que queremos que aconteça é que o lançamento do dado resulte em uma face que ainda não apareceu. Esse evento segue uma distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso variável.
No primeiro lançamento, a probabilidade p de sucesso é \(1\), já que nenhuma face do dado foi obtida ainda.
A partir do segundo lançamento, a probabilidade p de sucesso é \(5/6\), e essa se mantém até que um novo sucesso ocorra, ou seja, apareça uma face diferente da primeira.
O terceiro momento é quando duas faces diferentes já saíram, e a nova probabilidade p de sucesso é \(4/6\). Esse padrão se mantém até só restar uma única face, e a probabilidade de sucesso ser de \(1/6\).
O número de tentativas necessárias para se obter n sucessos em uma distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso p segue uma distribuição binomial negativa. No caso especial de um sucesso, o número de tentativas segue uma distribuição geométrica. A esperança de uma distribuição geométrica \(Geo(p)\) é dada por \(E(Geo(p)) = 1/p\).
Temos no caso 6 distribuições geométricas com 6 probabilidades diferentes. O resultado final é dado por:
\(E(Geo(6/6)) + E(Geo(5/6)) + E(Geo(4/6)) + \)
\( E(Geo(3/6)) + E(Geo(2/6)) + E(Geo(1/6))\)
\( = 1 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 = 14.7\)

Analisando esse resultado, uma fórmula pode ser feita para um dado de n lados:
\(L(n) = n\times\sum_{i = 0}^{n}1/i\)
ou
\(L(n) = n\times H_n\), onde \(H_n\) é o n-ésimo número harmônico.

Resultados notáveis:
Dado de 4 lados: 8.33 Lançamentos
Dado de 10 lados: 29.29 Lançamentos
Dado de 20 lados: 71.95 Lançamentos

comentou Jun 1, 2015 por danielcajueiro (5,171 pontos)  
Intuitivamente, você pode pensar (no limite) como prob=(número médio de sucessos)/(número total de tentativas). Então, qual o número total de tentativas para ter na média um sucessos? Temos nesse caso "número total de tentativas"=(número médio de sucessos)/prob=1/prob.
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