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Se convergir, para onde converge a série de potências de uma matriz?

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perguntada Mar 10, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,081 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Suponha que a serie de matrizes \(S=I+A+A^2 + A^3 + \cdots\) convirja. Mostre que \(S=(I-A)^{-1}\), quando a inversa de \((I-A)\) existir.

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1 Resposta

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respondida Mar 10, 2015 por danielcajueiro (5,081 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Seja \(S=I+A+A^2 + A^3 + \cdots\) e faça \(AS=A + A^2 + A^3 + \cdots\). Finalmente, note que \(S-AS=I\), ou seja, \(S(I-A)=I\), isto é, \(S=(I-A)^{-1}\). De fato, pode-se mostrar que a inversa de \(A\) sempre existe se, e somente se, a série de matrizes \(S\) converge. Entretanto, para estudar formalmente esse ponto, precisamos definir adequadamente convergência num espaço vetorial normado de matrizes.

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