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Se convergir, para onde converge a série de potências de uma matriz?

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perguntada Mar 10, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,236 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Suponha que a serie de matrizes \(S=I+A+A^2 + A^3 + \cdots\) convirja. Mostre que \(S=(I-A)^{-1}\), quando a inversa de \((I-A)\) existir.

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1 Resposta

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respondida Mar 10, 2015 por danielcajueiro (5,236 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Seja \(S=I+A+A^2 + A^3 + \cdots\) e faça \(AS=A + A^2 + A^3 + \cdots\). Finalmente, note que \(S-AS=I\), ou seja, \(S(I-A)=I\), isto é, \(S=(I-A)^{-1}\). De fato, pode-se mostrar que a inversa de \(A\) sempre existe se, e somente se, a série de matrizes \(S\) converge. Entretanto, para estudar formalmente esse ponto, precisamos definir adequadamente convergência num espaço vetorial normado de matrizes.

comentou Abr 24 por Ana Clara (1 ponto)  
Professor, como você concluiu que S-AS=I?
comentou Abr 25 por danielcajueiro (5,236 pontos)  
Note que o lado direito de ambas equações são quase iguais (a única diferença é o I), pois é uma soma infinita. Logo, eu subtrai a segunda da primeira. Esse é o mesmo método utilizado para estudar soma infinita de progressões geométricas convergentes no ensino médio.
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