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Três veículos (sem dimensão) estão localizados nos vértices de um triângulo equilátero de lado L. Cada um deles pretende chegar aquele veículo que está localizado à sua direita com velocidade uniforme v.

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perguntada Jun 5, 2015 em Física por estudante (426 pontos)  

Em cada instante de tempo eles reajustam sua direção de acordo com a posição de seu veículo alvo.

Qual o tempo gasto para o encontro?

Qual a distância percorrida?

É possível descrever o caminho percorrido por eles?

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1 Resposta

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respondida Jun 6, 2015 por Paulo Murilo (166 pontos)  
selecionada Jun 8, 2015 por estudante
 
Melhor resposta

As respostas são \(T= (2L)/(3v)\) e \(D=2L/3\).

A simetria é a seguinte. Os 3 carros formarão sempre um triângulo equilátero de lado \(l(t)\), que começa com \(l(0)=L\) e termina com \(l(T)=0\). Este triângulo, portanto, diminui seu tamanho até virar um único ponto (no centro do triângulo inicial), quando os carros se encontram. Além de diminuir seu tamanho, este triângulo também gira com centro sempre no centro do triângulo inicial.

Se supusermos um intervalo infinitesimal dt, a partir do instante t um carro se desloca a distância infinitesimal vdt ao longo de um dos lados, sua nova distância à posição em que o outro carro se encontrava no instante \(t\) é \(l(t)-vdt\). Mas este outro carro também se deslocou a mesma distância \(vdt\) na direção inclinada de \(60^o\). Estas duas distâncias, \(l(t)-vdt\) e \(vdt\), formam um triângulo cujo terceiro lado é a nova distância \(l(t+dt)\) entre os dois carros, no instante \(t+dt\). Portanto,

\([l(t+dt)]^2 = [l(t)-vdt]^2 + (vdt)^2 - 2[l(t)-vdt]vdtcos(60^o)\)

ou, desprezando os infinitésimos de segunda ordem \((dt^2)\),

\(dl = l(t+dt)-l(t) = -(3/2)vdt\),

ou ainda

\(dl/dt = -(3/2)v\)

cuja solução é \(l(t) = L - (3/2)v t\).

A distância final entre dois carros, \(l(T)=0\), ocorrerá portanto no instante \(T=(2L)/(3v)\). Como o movimento de cada carro é uniforme (sobre uma curva), a distância total que ele percorre (ao longo desta curva) é \(vT = 2L/3\).

Para determinar a trajetória de cada carro, temos que analisar o ângulo A de giro do triângulo em função do tempo. O resultado é uma equação diferencial cuja solução é

\(A(t) = -1/\sqrt(3) ln(1-t/T)\)

Este ângulo \(A(t)\) começa zerado e cresce indefinidamente. Portanto, o triângulo formado pelos 3 carros gira infinitas vezes enquanto diminui seu tamanho. A trajetória de cada carro é, portanto, uma espiral convergente no centro do triângulo inicial. Sua forma analítica é, em coordenadas polares, raio = \(l(t)/\sqrt(3)\), ângulo \(A(t)\).

comentou Jun 7, 2015 por estudante (426 pontos)  
editado Jun 8, 2015 por danielcajueiro
Caro Paulo Murilo, muito obrigado por essa resposta? Tem alguma simetria que não estou percebendo para entender a sua resposta?
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