Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

É nulo o determinante de uma matriz cujas colunas são linearmente dependentes?

+1 voto
472 visitas
perguntada Mar 10, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,171 pontos)  
Compartilhe

1 Resposta

0 votos
respondida Mar 10, 2015 por danielcajueiro (5,171 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Sim! Lembre que:

(a) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.

(b) Se a linhas de um determinante são linearmente dependentes, então podemos escrever uma das linhas como combinação das outras e, portanto, podemos zerar essa linha.

Mais precisamente, assuma que a linha \(L_{i}\) é combinação linear das outras.

Logo, a linha \(L_{i}\) pode ser zerada fazendo operações linhas na matriz da forma que se soma outras linhas da matriz multiplicada por um múltiplo a essa linha.

(c) Se uma matriz \(A\) é linha equivalente a uma matriz \(B\), então o det(\(A\))=k det(\(B\)), onde \(k\ne 0\).

(d) O determinante de uma matriz que possui pelo menos uma linha nula possui determinante nulo.

Seja \(A\) a matriz original. \(B\) a matriz transposta de \(A\). \(C\) a matriz linha equivalente a \(B\) que possui uma linha nula (usando propriedade (b)). Note que det(\(A\))=det(\(B\))=\(k\) det(\(C\)) = 0.

...