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Como calcular o determinante de um produto de matrizes que inclui uma matriz idempotente e uma matriz ortogonal?

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perguntada Mar 10, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,236 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

(ANPEC 2008) Seja \(H\) uma matriz \(4 \times 4\) idempotente, simétrica e não singular. Seja \(L\) uma matriz \(4\times 4\) ortogonal. Calcule o determinante de \((H'H L'L)\).

Lembrete: Uma matriz \(A\) é idempotente quando \(AA=A\) e ortogonal quando \(A'A=AA'=I\).

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1 Resposta

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respondida Mar 10, 2015 por danielcajueiro (5,236 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

(a) Note que det(\(H\))=1, pois se \(H\) é idempotente, então:

\[det(HH)=det(H)\Rightarrow det(H)det(H)=det(H)\Rightarrow det(H)^2=det(H).\]

Resolvendo essa equação quadrática concluímos que o determinante de \(H\) é 0 ou 1. Uma vez que assumimos que ela é não-singular, então o determinante
precisa ser 1.

(b) Note que o det(\(L\))=1 ou det(\(L\))=-1, pois se \(L\) é ortogonal, então:

\[LL^\prime=I\Rightarrow det(LL^\prime)=det(I)\Rightarrow det(L)det(L)=1\Rightarrow det(L)^2=1.\]

Logo, \[det(H^\prime HL^\prime L)=det(H^\prime)det(H)det(L^\prime)det(L)=det(H)^2det(L)^2=1\]

comentou Nov 26, 2016 por Mihalis Yacalos (1 ponto)  
Professor, poderíamos ter achado o determinante só manipulando a multiplicação com propriedades de multiplicação?
comentou Nov 26, 2016 por danielcajueiro (5,236 pontos)  
Basicamente, o que você está usando é que o determiante do produto é o produto de determinantes. Mas você precisa das propriedades específicas das matrizes.
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