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O subconjunto fechado de um conjunto compacto é compacto? Prove.

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perguntada Jun 11, 2015 em Matemática por Lorena (141 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Jun 12, 2015 por Pietro Ribeiro (426 pontos)  
selecionada Jun 12, 2015 por danielcajueiro
 
Melhor resposta

Lorena, você precisaria especificar melhor o tipo de espaço que você está considerando. Mas essa proposição é verdadeira em geral. Segue um esboço da prova que dá o máximo de generalidade possível à essa afirmação:

Tome uma cobertura aberta arbitrária de um conjunto fechado A contido em B compacto. Note que se você adicionar à essa cobertura o complementar de A, que é aberto, então você obtém uma cobertura aberta de B. Como B é compacto, você consegue obter, a partir dessa cobertura de B, uma subcobertura aberta e finita de B. Desconsiderando, se necessário, o complementar de A dessa subcobertura, você obtém uma subcobertura (da cobertura original de A) aberta e finita de A. Logo, A é compacto.

Se você estiver em um espaço euclidiano (por exemplo, o espaço real de n dimensões), a prova é ainda mais simples. Como B é compacto, ele é limitado. Como A está contido em B, A é limitado. Como A é fechado por hipótese, ele é fechado e limitado, i. e. ele é compacto.

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