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O que diz o Teorema da Impossibilidade de Arrow?

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perguntada Jun 16, 2015 em Economia por Pietro Ribeiro (426 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Jun 16, 2015 por Henrique Souza (626 pontos)  
editado Jun 16, 2015 por Henrique Souza

O Teorema da Impossibilidade de Arrow trata de um problema matemático acerca das escolhas de indivíduos da sociedade. O teorema diz que nenhum sistema ordinal de votação (onde os indivíduos ranqueiam suas preferências) com mais de três opções pode ser completo e transitivo e, ao mesmo tempo, ter domínio irrestrito, eficiência de Pareto, independência entre alternativas irrelevantes e ser não ditatorial.
Um sistema completo de votação é capaz de relacionar quaisquer pares de elementos do conjunto (para cada \(X,Y \in U: X > Y \) ou \(Y > X\)). Um sistema transitivo implica que para cada \(X,Y,Z \in U: X > Y \) e \(Y > Z \) então \(X > Z\) - não ocorre o efeito pedra-papel-tesoura.
Eficiência de Pareto gira em torno da ideia de que para algum indivíduo melhorar sua situação, outro deve piorar. Um sistema eficiente no sentido de Pareto possui a melhor escolha coletiva para cada indivíduo. Domínio irrestrito significa que todos os indivíduos da sociedade tem direito ao voto. Ser não ditatorial significa que não há um indivíduo na sociedade tal que a preferência dele determine a preferência da sociedade. A ideia de independência entre alternativas irrelevantes significa que a alteração global do rank de uma opção \(Z\) não altera a relação das outras opções entre si (\(A > B\) continuaria \(A > B\)).
A prova informal mais comum desse teorema gira em torno de mostrar que um sistema ordinal de votação completo, transitivo, irrestrito, eficiente no sentido de Pareto e independente entre alternativas irrelevantes sempre possuirá um indivíduo cujas preferências determinarão exclusivamente o resultado final.
Essa prova informal por ser vista nesse vídeo, e mais informações (como a prova informal, soluções e bibliografia) estão disponíveis na Wikipédia (em inglês).

comentou Jun 16, 2015 por Henrique Souza (626 pontos)  
A introdução do vídeo exemplifica também um problema com a noção de independência entre alternativas irrelevantes, e problemas com a noção de transitividade podem ser visualizados em um simples contra exemplo, com três eleitores e três opções:
Eleitor 1: A > B > C
Eleitor 2: B > C > A
Eleitor 3: C > A > B
comentou Jun 16, 2015 por Pietro Ribeiro (426 pontos)  
editado Jun 17, 2015 por Pietro Ribeiro
Henrique, o seu enunciado do resultado está basicamente correto. Tem alguns detalhes: primeiro, os indivíduos tem preferências que ranqueiam o conjunto de escolha. Eles não ranqueiam as preferências em si. A outra questão é que completude e transitividade não são características da Função de Bem-estar Social, mas dos valores que ela assume, i. e. das preferências sociais.

Eu não concordo muito com a descrição de algumas propriedades.

Primeiro, não há necessidade que a Função de Bem-estar Social seja um sistema de votação. Mais ainda, como disse, a característica de completude e de transitividade está mais relacionada com os valores da Função do que com a Função em si, i. e. é a preferência social que tem que ser completa e  transitiva.

Apesar da noção de Eficiência de Pareto ser essa que você descreveu, no Teorema de Arrow a Propriedade de Pareto (fraca) é que se todos os indivíduos preferem fracamente x a y, então x tem que ser fracamente socialmente preferível a y.

A descrição de domínio irrestrito está errada. O número de indivíduos é sempre fixo. O domínio irrestrito significa que,  no domínio da função de escolha social, você tem que considerar qualquer n-upla possível de preferências individuais. Intuitivamente, o que isso lhe diz é cada indivíduo pode ter qualquer preferência possível, ou seja, a função de escolha social tem que retornar uma preferência social completa e transitiva seja quais forem as preferências individuais.

Tem um detalhe que faltou em sua descrição de ditatorial: ser não ditatorial significa que não há um indivíduo na sociedade tal que a preferência dele determine a preferência da sociedade, SEJA QUAL FOR a preferência desse indivíduo. Caso contrário, nada impede que, por um acaso, o indivíduo e a sociedade tenham a mesma preferência. Isso só é um problema se isso acontece seja qual for a preferência do indivíduo que é o ditador.

Só um comentário sobre sua definição de independência das alternativas irrelevantes: ela está um pouco vaga. Essa propriedade diz que o ranking social de duas alternativas, digamos x e y, depende apenas do ranking individual de x e y desconsiderando qualquer outro elemento do ranking individual: por exemplo, se um indivíduo tem que x > y > z e outro tem que x > z > y, então a informação que vai ser levada em consideração no ranking social é que x > y e ponto. O 'z' é irrelevante.

No mais, gostei de sua resposta!

Para uma discussão dessas propriedades, eu recomendo o "Social Choice and Individual Values" do Arrow.  Amartya Sen tem artigos muito interessantes sobre o tema. Para uma análise bem interessante da prova e dos motivos desse resultado, eu recomendo um artigo dele chamado "Personal Utilities and Public Judgment: or What's Wrong with Welfare Economics".
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