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Por que fatoriais crescem mais rápido que exponenciais?

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perguntada Jun 18, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,081 pontos)  
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2 Respostas

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respondida Jun 19, 2015 por Stefano Ivo Finazzo (91 pontos)  

Uma forma não-convencional de ver é usando a fórmula de Stirling:

\( n! \sim 2 \pi n \left( \frac{n}{e} \right)^n + O(n) \)

Que pode ser escrita como

\( \log n! \sim n \log n + O(n) \).

Já para a exponencial e^n,

\( \log e^n \sim n \).

Logo, como \( n \log n > n \) para n suficiente grande, n! domina sobre a exponencial \( e^n \) para qualquer n.

Fui bem informal, acho que deve ser bem fácil deixar isso rigoroso se quiser.

A fórmula de Stirling em si segue do método de ponto de sela + definição de n! como uma integral (basicamente a definição integral da função gama), então não depende da dominância do fatorial sobre a exponencial - isso não é um argumento circular.

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respondida Jun 18, 2015 por danielcajueiro (5,081 pontos)  

Considere a função \(f(n)=\frac{a^n}{n!}\).

Note que \(\frac{f(n+1)}{f(n)}=\frac{a}{n+1}\). Logo, quanto mais \(n\) for maior que \(a\), maior será a taxa de decrescimento.

comentou Jun 18, 2015 por Thiago Nascimento (131 pontos)  
No caso, como esse limite é menor do que 1. Então o limite de  \(x_n = \frac{a^n}{n!} \) é 0. Disso segue.
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