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7 é o único número primo seguido por um número cúbico?

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perguntada Jun 18, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,171 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Jun 18, 2015 por Thiago Nascimento (131 pontos)  
selecionada Jun 18, 2015 por danielcajueiro
 
Melhor resposta

Suponha \(p\) primo e \(p+1 = k^3 \), então \( p = k^3-1 = (k-1)(k^2+k+1).\) Como p é primo. \(k -1 = 1\) ou \( k^2+k+1 = 1.\) De \( k-1 = 1\) segue que \(k = 2\). Disso temos \(p+1 = 8\) e \(p = 7.\) De \(k^2+k+1 = 1\) temos \( k = 0\) ou \(k = -1\). Assim, verificamos que de fato \(7\) é o único com tal propriedade.

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