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Existem dois números irracionais positivos que um elevado ao outro é racional?

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perguntada Jun 18, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,171 pontos)  

Sejam \(a\) e \(b\) irracionais positivos. Existe \(a\) e \(b\) tal que \(a^b\) é racional?

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2 Respostas

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respondida Jun 18, 2015 por Thiago Nascimento (131 pontos)  
selecionada Jun 18, 2015 por danielcajueiro
 
Melhor resposta

A prova clássica.

Tome \( x = \sqrt{2} \), calcule \( x^x \). Se racional, então acabou. Se não, como \( \sqrt{2} \) é irracional, vale \( (x^x)^x = 2 \).

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respondida Jun 18, 2015 por Henrique Souza (626 pontos)  

Sim. Basta pensar na função exponencial e na logarítmica. Tome \(a = e\) e \(b = ln(2)\). Tanto \(a\) como \(b\) são irracionais, porém \(a^b = e^{ln(2)} = 2\) que é racional.

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