Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

Esse sistema possui solução única ou não?

+1 voto
293 visitas
perguntada Mar 10, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,171 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Se \(M\) é uma matriz quadrada inversível de ordem \(n\) tal que \[det(M^2 -M) = 0,\] então existe um vetor não-nulo \(X\), de ordem \(n\times 1\), tal que \(MX = X\).

Compartilhe

1 Resposta

0 votos
respondida Mar 10, 2015 por danielcajueiro (5,171 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Note que \(det(M^2 -M)=det(M(M-I))=det(M)det(M-I)=0\). Portanto, se \(M\) é inversível (por hipótese), \(det(M)\ne 0\). Logo, \(det(M-I)=0\) que implica que o sistema \((M-I)X=0\) ou \(MX = X\) possui infinitas soluções.

comentou Set 6 por Mateus Hiro Nagata (1 ponto)  
Det(M-I)=0 necessariamente implica que I=M? Ou existe alguma outra propriedade/caso que se aplica?
O produto de determinantes é o determinante dos produtos, mas é possível dizer a mesma coisa da soma/subtração de determinantes?
comentou Set 6 por danielcajueiro (5,171 pontos)  
det(M-I)=0 implica que a matriz (M-I) é não é linha equivalente a identidade, mas não necessariamente que (M-I)=0. Por exemplo, a matriz a "diagonal" com valores (2,1) possui essa propriedade.
...