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Como calcular a relação entre esses determinantes?

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perguntada Mar 10, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,171 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Seja \(A\) uma matriz de ordem \(5\times 5\) tal que todos os elementos da
terceira linha dessa matriz valem 3. Seja \(B\) criada a partir de \(A\) somando duas unidades a cada elemento de \(A\). Quanto vale \(\alpha\) tal que \(\det(B)=\alpha*\det(A)\)?

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1 Resposta

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respondida Mar 10, 2015 por danielcajueiro (5,171 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

A idéia é fazer operações elementares em \(B\) do tipo que soma uma linha a um múltiplo da outra linha. Que operação é essa que nos ajuda a encontrar o determinante de \(B\)?

Seja \(\overline{A}\) a matriz encontrada a partir de \(A\) através da operação elementar que substitui a terceira linha de \(A\) por \(3/5\) da terceira linha de \(A\).

Logo, \(\overline{A}\) tem todos os elementos da terceira linha iguais a 1 e \(det(\overline{A})=1/3 det(A)\). Quanto vale o determinante de \(B\)?

Note que o \(det(B)=det(\overline{A})\), pois \(B\) pode ser encontrada a partir de \(A\) com
operações elementares do tipo que substitui uma linha por essa linha menos 2/3 da linha 3 de \(A\).

comentou Set 20, 2015 por Stuart Mill (334 pontos)  
editado Set 20, 2015 por Stuart Mill
Nesse caso, alfa=5/3 ?

Seja C uma matriz de ordem n, com os mesmos elementos de A, mas com a terceira linha com todos os elementos igual a 1. Então det(A)=3det(C). Fazendo também det(B)=5det(C). Logo, det(B)=(alfa)det(A) => 5det(c)=(alfa)3det(c) => alfa=5/3
comentou Set 20, 2015 por danielcajueiro (5,171 pontos)  
Sim!! Correto!
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