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Como provar a elasticidade de substituição constante da função de produção CES?

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perguntada Jun 24, 2015 em Economia por Henrique Souza (626 pontos)  

Dada uma função de produção com tecnologia CES:

\(f(x_1,x_2) = [\alpha x_1^\rho + \beta x_2^\rho]^{1/\rho}\)

Como demonstrar que a elasticidade de substituição dessa função é constante e igual a \(\dfrac{1}{1-\rho}\)?

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comentou Mai 20, 2016 por Elizama Paiva (1 ponto)  
Essa é a melhor explicação que eu encontrei. Obrigada.

1 Resposta

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respondida Jun 24, 2015 por Henrique Souza (626 pontos)  

A elasticidade de substituição mede o quão propensa a firma está a alterar a proporção entre os insumos, dada uma variação percentual na razão entre o produto marginal dos insumos. Matematicamente, temos:

\(\sigma = \dfrac{\partial ln(x_1/x_2)}{\partial ln(PM_2 / PM_1 )}\)

Primeiro, vamos obter o produto marginal dessa função de tecnologia:

\(PM_1 = \dfrac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1} = \alpha x_1^{\rho - 1}[\alpha x_1^\rho +\beta x_2^\rho]^{1/\rho \, - 1}\)

\(PM_2 = \dfrac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2} = \beta x_2^{\rho - 1}[\alpha x_1^\rho +\beta x_2^\rho]^{1/\rho \, - 1}\)

A razão entre os produtos marginais é:

\(\dfrac{PM_2}{PM_1} = \dfrac{\beta x_2^{\rho - 1}}{\alpha x_1^{\rho-1}}\)

Tirando o logarítmo dessa razão, temos:

\(ln(\dfrac{PM_2}{PM_1}) = (\rho - 1)ln(\dfrac{\beta}{\alpha} \cdot \dfrac{x_2}{x_1}) = (\rho - 1)ln(\dfrac{\beta}{\alpha}) + (\rho - 1)ln(\dfrac{x_2}{x_1})\)

A derivada desse logarítmo é:

\(\partial ln(\dfrac{PM_2}{PM_1}) = \partial (\rho - 1)ln(\dfrac{\beta}{\alpha}) + \partial (\rho - 1)ln(\dfrac{x_2}{x_1}) =\)
\(0 + (\rho - 1) \partial ln(\dfrac{x_2}{x_1}) = (\rho - 1) \partial ln(\dfrac{x_2}{x_1})\)

Como \(ln(\dfrac{x_1}{x_2}) = -ln(\dfrac{x_2}{x_1})\), temos que a elasticidade de substituição vale:

\(\sigma = \dfrac{-\partial ln(\dfrac{x_2}{x_1})}{(\rho - 1) \partial ln(\dfrac{x_2}{x_1})} = \dfrac{-1}{\rho - 1} = \dfrac{1}{1-\rho}\)

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