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Por que a desigualdade de Cauchy-Schwarz é considerada tão importante? Podem ser dados exemplos de aplicações?

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perguntada Mar 11, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,081 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Lembrete: A desigualdade de Cauchy-Schwarz é dada por

\[|u\cdot v| \le ||u|| ||v||\].

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1 Resposta

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respondida Mar 11, 2015 por danielcajueiro (5,081 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Ela é importante porque ela relaciona produto interno que é responsável por dar uma visão geométrica a espaços vetoriais com a noção de comprimento.

Alguns exemplos:

1) O fato muito usado em estatística que \(-1\le \rho \le 1\), onde \(\rho\) é o coeficiente de correlação é uma consequência direta dessa desigualdade. Formalmente, esse resultado ocorre no \(\mathcal{L}^2\) (espaço de funções mensuráveis).

2) Um resultado muito comum em cálculo é que o gradiente é um vetor que sempre aponta para o máximo de uma função. Esse resultado é inclusive muito usado em otimização numérica. Sabemos que \(D\_{u} F=\nabla F \cdot u\), onde \(D\_{u} F\) é a derivada direcional de F na direção do vetor unitário \(u\). Aplicando o valor absoluto nessa equação, temos que \(|D\_{u} F|=|\nabla F \cdot u|\le ||\nabla F|| ||u||=||\nabla F|| \times 1 =||\nabla F||\). A igualdade só ocorre quando \(u\) tem a mesma direção do gradiente.

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