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No espaço Euclidiano, dois vetores não nulos e ortogonais são linearmente independentes? O contrário também é válido?

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perguntada Mar 11, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,171 pontos)  
reclassificado Mar 13, 2015 por danielcajueiro
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1 Resposta

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respondida Mar 11, 2015 por danielcajueiro (5,171 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Sim. Seja \(u\perp v\). Logo, \(u\cdot v=0\). Estamos interessados nas soluções possíveis \((c,d)\) da equação vetorial \(c u +dv=0\). Fazendo \(u\cdot (c u+dv)=u\cdot 0=0\Rightarrow c ||u||^2 =0\Rightarrow c=0\). Fazendo o mesmo procedimento utilizando \(v\) concluímos que \(d=0\). Portanto, a única solução da equação de interesse é \((c,d)=(0,0)\) que implica que os vetores são independentes.

Note que o contrário não é válido. Por exemplo, dois vetores LI dados por \((1,0)\) e \((1,2)\) não são ortogonais.

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