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Como calcular a dimensão de um subespaço vetorial de polinômios que zera em um determinado ponto?

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perguntada Mar 11, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,126 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Qual a dimensão do subespaço vetorial de polinômios \(P(x)\) com grau menor ou igual a 3 que zera em \(x=1\)?

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1 Resposta

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respondida Mar 11, 2015 por danielcajueiro (5,126 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Um polinômio de grau 3 ou menor que zera em \(x=3\) tem equação dada por \(P(x)=(ax^2 + bx +c)(x-3)=ax^3 +bx^2+ cx-3ax^2-3bx-3c\) \(=a(x^3-3x^2)+b(x^2-3x)+c(x-3)\). Logo, esse subespaço (por que é um subespaço?) tem dimensão 3, pois qualquer elemento dele pode ser escrito pela combinação linear dos 3 vetores \((x^3-3x^2)\), \((x^2-3x)\) e \((x-3)\).

comentou Set 15 por Tiago Rosaes (1 ponto)  
editado Set 15 por Tiago Rosaes
Professor, repare que existe um pequeno erro no enunciado. Na questão você pergunta de polinômios com grau menor ou igual a 3 que zerem em em x=1. Mas na resposta você responde com polinômios que zeram em x=3. Entretanto acredito que poderia ser corrigida substituindo a função por  P(x)=(ax2+bx+c)(x−1). Mas respondendo seu questionamento sobre o porquê esse conjunto de polinômios que zeram em x=3 constitui subespaço vetorial.

Vamos propor  W como um subespaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3 que zere a função em x=3. Para provar se W é de fato um subespaço vetorial é necessário satisfazer  as seguintes condições:

1- 0 pertence a W
Prova:

Note,

0(x3−3x2)+0(x2−3x)+ 0(x−3) = 0

ou também

0.p(x)=y.0
0.p(3)=0.0

Logo, percebemos que 0 de fato pertence a W

2- [FECHADO PARA SOMA] Se P(x) e P1(x) pertencem ao espaço vetorial W, então P(x) + P1(x) também pertence a W.

Prova:
Assumindo como P(x)= a(x3−3x2)+b(x2−3x)+c(x−3)  e P1(x)= d(x^3-x^2)+e(x^2-3x)+f(x-3)

P(x)+P1(x) = (a+d)(x^3-3x^2)+(b+e)(x^2-3x)+(c+f)(x-3)

Repare que: (a+d)(x^3-3x^2)+(b+e)(x^2-3x)+(c+f)(x-3) ainda satisfaz o conjunto, isso é, a função acima ainda é igual a 0 em x=3. Logo a soma dos polinômios genéricos P(x) e P1(x) pertence a W, correspondendo a segunda condição.  Mas para saber se tal conjunto é de fato um subespaço é necessário que a terceira condição também seja satisfeita.

3-[FECHADO PARA MULTIPLICAÇÃO] Se V pertence a W, então t.V também pertence a W, assumindo t como um escalar pertencente aos reais.
Prova:

t.P(x)= t.a(x3−3x2)+t.b(x2−3x)+t.c(x−3)
t.a(x3−3x2)+t.b(x2−3x)+.tc(x−3) ainda é igual a 0 em x=3, isso é, tP(3)=0.
Logo a terceira condição também é satisfeita.

Então de fato, o conjunto de polinômios que zeram em x=3 constitui um subespaço vetorial, pois as três condições são satisfeitas.
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