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Como definir o espaço vetorial de matrizes como um espaço vetorial normado?

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perguntada Mar 11, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,081 pontos)  
editado Mar 24, 2015 por danielcajueiro

Considere o conjunto das matrizes \(M\) de ordem \(m\times n\) com elementos em \(\Re\).

a) Mostre que esse conjunto é um espaço vetorial em relação as operações de adição de matrizes e multiplicação por escalar.

b) Mostre que as matrizes \[E_1=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right]\]

\[E_2=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right]\]

\[E_3=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right]\]

\[E_4=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right]\]

são uma base para o espaço \(M_{22}\). Escreva a matriz \[\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}\right]\]
como uma combinação linear dos vetores geradores da base acima.

c) Qual é a dimensão desse espaço vetorial?

d) Defina o produto interno entre duas matrizes nesse espaço
como \[\langle A,B\rangle = tr A^\prime B,\] onde \(tr\) refere-se ao traço de uma matriz quadrada que é a soma dos elementos da diagonal principal. Mostre que essa definição satisfaz as propriedades de produto interno.

e) Use a definição de produto interno acima para definir uma norma entre duas matrizes para os espaço vetorial \(\Re^n\). Verifique se sua definição satisfaz as propriedades usuais de norma:

e1) \(||x||\ge 0\);

e2) \(||x||=0 \Leftrightarrow x=0\);

e3) \( ||\alpha x||=\alpha ||x||\);

e4) \(|\langle x, y\rangle | \le ||x|| ||y||\)

e5) Desigualdade triangular: \(||x+y||\le ||x||+||y||\)

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comentou Mar 11, 2015 por danielcajueiro (5,081 pontos)  
Embora a solução de todos os ítens seja um pouco longa, vale a pena tentar. Esse exercício explora o fato que é possível definir produtos internos e normas para outros espaços vetoriais que possuem elementos diferentes daqueles que usualmente chamamos de "vetores" desde o ensino médio. Note que isso é praticamente uma repetição daquilo que usualmente é feito em sala para os espaços euclidianos.

2 Respostas

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respondida Abr 11, 2016 por Raíssa (431 pontos)  
selecionada Abr 12, 2016 por danielcajueiro
 
Melhor resposta

a) Colocando uma matriz genérica \(A_{m\times n}\) é possível checar que esse conjunto é um espaço vetorial em relação as operações de adição de matrizes e multiplicação por escalar.

b) As matrizes \(E_1\), \(E_2\), \(E_3\) e \(E_4\) são base para o espaço das matrizes 2x2 pois são linearmente independentes e podem formar qualquer matriz genérica \(\left[\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d\\
\end{array}\right]=\)\(aE_1+bE_2+cE_3+dE_4\).
Por exemplo, a matriz \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 2\\
3 & 4\\
\end{array}\right]\) pode ser escrita com como \(1E_1+2E_2+3E_3+4E_4\).

c) Como a base possui 4 vetores, a dimensão desse espaço vetorial é 4.

d) O produto interno entre matriz A e ela mesma (quadrado da norma) deve ser maior ou igual a zero. É fácil notar que o \(tr A^{\prime}A = a_{11} ^2+...+a_{1n} ^2 +\cdots+a_{n1}^2+\cdots+a_{nn}^{2}\) satisfaz essa propriedade e ele só irá ser zero se a matriz for nula.

Note também que \(tr(cA)\prime B= c(trA^\prime B)\) é válida.

Outra propriedade é \(tr A^\prime B= tr B^\prime A \) é verificável.

FInalmente, a última propriedade que diz que o produto interno entre \(A+B\)e \(C\) é igual ao produto interno entre \(A\) e \(C\) mais o produto interno entre \(B\) e \(C \) também é válida, pois\(tr(A+B)\prime C=tr(A^\prime C)+ tr(B^\prime C)\).

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respondida Mai 12, 2015 por Lorena (141 pontos)  

Pelo que entendi , conjunto de todas as matrizes de ordem mxn é um espaço vetorial. Para torná-lo um espaço normado, precisamos antes definir um produto interno neste espaço. A norma de um vetor deste espaço será a raiz quadrada do produto interno do vetor por ele mesmo. Há várias normas (decorrentes de diferentes produtos internos) que podem ser definidas de modo consistente em um mesmo espaço.

comentou Mai 12, 2015 por danielcajueiro (5,081 pontos)  
Sim, está correto, mas precisa-se mostrar que as propriedades acima, descritas no exercício, são verdadeiras.
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