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Como é o operador linear cujo o núcleo e imagem é o eixo x?

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perguntada Set 29, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,081 pontos)  

Calcule o operador \(T:\Re^2\rightarrow \Re^2\), dado por
\(T(x)=Ax\), que tenha como imagem e como núcleo o eixo \(x\).

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1 Resposta

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respondida Set 29, 2015 por danielcajueiro (5,081 pontos)  

Note que o nosso operador tem a forma

\[A=\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right]\]

Queremos que (núcleo)

\[\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x \\ 0 \\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array}\right]\]

\[ax=0\Rightarrow a=0\]

\[cx=0\Rightarrow c=0\]

e (imagem)

\[\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} z \\ 0 \\ \end{array}\right]\]
\[ax+by=z\]

\[cx+dy=0\]

Usando o fato que \(c=0\) concluimos que \(d=0\).

Logo o operador é da forma

\[A=\left[\begin{array}{cc} 0 & b \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right]\]

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