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Existe uma justificativa matemática simples para a idéia de diversificação?

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perguntada Mar 11, 2015 em Finanças por danielcajueiro (5,171 pontos)  
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respondida Mar 11, 2015 por danielcajueiro (5,171 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Sim! Um bom argumento que exige muito pouco matematicamente é o Teorema de Diversificação de Samuelson:

\(Ra\) e \(Rb\) variáveis aleatórias independentes que representam o retorno de dois ativos financeiros \(a\) e \(b\). Suponha que \(\overline{Ra}>\overline{Rb}\) e \(var(Rb)>0\).

Seja \(Rc=\pi Ra+(1-\pi)Rb\) \(\Rightarrow\) a carteira formada por ativos \(a\) e \(b\).
\(\overline{R}c=\pi\overline{R}a+(1-\pi)\overline{R}b>\pi\overline{R}b+(1-\pi)\overline{R}b=\overline{R}b\).
Ou seja, vale a pena investir uma parte em \(a\) -- a não ser que o menor risco associado a essa carteira esteja em \(\pi=0\) (e poderia haver um investidor que preferiria investir nessa situação). Vamos checar essa possibilidade.

Para isso desejamos encontrar o valor de \(\pi\) que minimiza a seguinte equação: \(var(Rc)=\pi^2var(Ra)+(1-\pi)^2var(Rb)\).
Portanto, \begin{equation}\frac{dvar(Rc)}{d\pi}=2\pi var(Ra) + 2(1-\pi)(-1)var(Rb)=0\nonumber \end{equation} Logo, \(\pi^*=\frac{var(Rb)}{var(Ra)+var(Rb)}>0\). Se \(\overline{R}a>\overline{R}b\), independentemente do valor de \(var(Ra)>0\), todos os investidores desejarão investir uma quantidade em \(a\).

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