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Quantas figurinhas eu devo comprar para preencher um álbum de figurinhas? Qual o custo médio de um album de figurinhas? Qual a importância de um mercado para a troca de figurinhas?

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perguntada Nov 25, 2015 em Estatística por danielcajueiro (5,186 pontos)  

A imagem será apresentada aqui.

Que eu saiba, esse foi o primeiro álbum (1979) de figurinhas autocolantes do Brasil!!

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1 Resposta

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respondida Nov 25, 2015 por danielcajueiro (5,186 pontos)  

A solução que vou usar para responder essa pergunta é baseado no problema conhecido na literatura pelo nome de Problema do Colecionador de Cupons (The Coupon Collector Problem).

Dependendo das hipóteses específicas por detrás do problema, ele é relativamente complexo. Eu me interessei por ele, quando compramos o álbum da Frozen para minha filha.

Álbum de figurinhas frozen

Esse problema é legal, pois em algum momento cada um de nós foi um colecionador de figurinhas. Veja os álbums de figurinhas mais famosos do Brasil. Ou, ainda, alguns gostam de colecionar os bonecos da coleção do Ovo Kinder:

Ovo Kinder

Que tal entender um pouco mais sobre o problema antes de resolvê-lo formalmente?

Imagine uma situação em que o seu álbum de figurinhas tem apenas 6 figurinhas e você deseja descobrir quantos envelopes de figurinha fechados (que vem apenas uma figurinha) em média você precisa comprar para completar o álbum. Vamos fazer um experimento?

dados

Pegue um dado e suponha que cada uma das faces do dado é uma figurinha desejada. Logo, por hipótese, as figurinhas são 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Lance repetidamente o dado até que todas as faces (figurinhas) apareçam. Eu fiz isso aqui e encontrei a seguinte sequencia:

2, 2, 1, 5, 5, 1, 1, 4, 5, 3, 4, 4, 4, 1, 6

Ou seja, nesse experimento, eu precisei de15 pacotes de figurinha para conseguir uma figurinha de cada tipo.

Repita esse processo várias vezes e anote os resultados (no exemplo acima foi 15). Depois calcule a média (isto é, some todos os resultados que você encontrou e divida pelo número de experimentos). Depois de finalizar o experimento, você terá encontrado na média o número de pacotes que você precisará comprar para preencher o álbum.

Eu repeti 20 vezes esse experimento e encontrei o valor médio de 14.9 pacotes. O resultado analítico dessa conta está aqui!

Você pode repetir esse experimento para álbuns com outros número de figurinhas se você tiver tempo e tiver uma coleção agressiva de dados:

A imagem será apresentada aqui.

O que fizemos aqui é chamado de simulação Monte Carlo.

Solução analítica

Considere a versão mais simples do problema. Considere que uma pessoa coleciona figurinhas para um álbum que possui um número \(N\) de figurinhas diferentes. Essas figurinhas chegam de uma e uma e são variáveis aleatórias independentes. Também vamos supor que a probabilidade de qualquer figurinha é a mesma.

Note que quando você começa o álbum, a primeira figurinha que você compra nunca será repetida. Entretanto, a partir da segunda figurinha, ela pode contribuir para o álbum, mas também pode ser igual a figurinha anterior. Logo, quanto mais figurinhas houver no seu álbum, mais difícil fica você conseguir completar uma nova figurinha.

Vamos chamar de \(X\) o número de figurinhas que nós precisamos comprar para completar o álbum e \(X_i\) o número de figurinhas adicionais que devo comprar para meu álbum passar de \(i-1\) figurinhas preenchidas para \(i\) figurinhas preenchidas. Por exemplo, suponha que meu álbum tem apenas 2 figurinhas. Então \(X_3\) é o número de figurinhas que devo comprar para meu álbum que já tem 2 figurinhas ficar com três figurinhas.

Logo, o número de figurinhas totais que devo comprar para na média completar o álbum é

\[X=X_1+\cdots+X_N.\]

Dessa forma, se entendermos como calcular \(X_i\) podemos resolver o problema desejado. Como já dissemos anteriormente, se meu álbum não tem nenhuma figurinha, eu (nesse caso é determinístico) preciso comprar apenas uma figurinha para ele ficar com uma figurinha. Logo, \(X_1=1\).

E se eu tiver i figurinhas no meu álbum, quantas figurinhas eu preciso comprar para ele ficar com i+1 figurinhas?

Note que a probabilidade de sair a mesma figurinha é \(\frac{i}{N}\) e, consequentemente, a probabilidade de sair uma figurinha diferente é \(p_i=\frac{N-i}{N}\).

Logo, \(X_i\) tem uma distribuição geométrica com probabilidade de sucesso dada por \(p_i\). Então, \(E[X_i]=\frac{N}{N-i}\).

Portanto, o valor esperado desejado de \(X\) é dado por

\[E[X]=E[X_1]+\cdots+E[X_N]=1+\frac{N}{N-1}+\cdots + \frac{N}{2}+N\]

Ou seja,

\[E[X]=N\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{i}=N\times H_n,\]

onde \(H_n\) é chamado de Número Harmônico e existem várias aproximações para ele.

Usando o Python podemos facilmente enxergar essa solução. Veja a figura abaixo como o número de figurinhas que precisam ser compradas crescem com \(N\):

The Coupon Collector Problem

Nós não compramos as figurinhas individualmente. Nós compramos pacotes de figurinhas!

Na verdade, se não houver suposições especiais sobre os pacotes, quase nada muda. O que muda? Ficamos restritos ao tamanho dos pacotes. É importante notar que haveria uma mudança muito grande se por exemplo fosse feita a suposição que todas as figurinhas dentro dos pacotes são diferentes.

Que tal um exemplo?

Panini Copa 2014

Vamos considerar o álbum de figurinhas da Copa de 2014 da Panini.

1) O álbum tem 640 figurinhas diferentes

2) Cada pacote vem com 5 figurinhas

3) Supõe-se que as figurinhas dentro de cada pacote e os pacotes são independentes.

Logo, usando a equação acima, encontramos que na média precisamos comprar 4505 figurinhas que dá em torno de 900 pacotes.

É possível implementar a mesma idéia feita com os dados acima computacionalmente?

Claro! Fazendo a simulação Monte Carlo chegamos ao seguinte histograma apresentado na figura abaixo:

Monte Carlo Panini

O código usado para essa simulação está apresentado aqui.

Comprar um número gigante de figurinhas é uma estratégia ótima?

Longe disso! Você vai comprar um número grande de figurinhas, mas deve considerar estratégias mistas de "trocar figurinhas com os amigos" e também comprar o número de figurinhas faltantes diretamente dos fornecedores.

Por exemplo, considere a situação que dois amigos tentam preencher juntos dois albuns e eles podem doar, vender ou trocar as figurinhas repetidas com o parceiro. Se fizermos o mesmo experimento do dado feito acima, encontramos o valor médio igual a 12.3. Agora, você lançará simultaneamente dois dados para fazer o experimento. Obviamente, quanto maior o número de amigos menor será na média o número de pacotes que precisarão ser comprados (obviamente satisfazendo o limitante inferior igual a 6).

Qual o custo médio de um álbum e qual a importância de um mercado para troca de figurinhas?

Além do preço do álbum, você precisa multiplicar pelo preço de cada pacote pelo número de pacotes que você pretende comprar. Como discutido acima, se houver um mercado onde as pessoas troquem figurinhas, o custo do album completo (preço do álbum + figurinhas) ficará bem mais barato e no limite tenderá para o preço do album adicionado do número de figurinhas (que você precisa preencher no álbum) multiplicado pelo preço de cada figurinha. Note que sem esse mercado, o número de figurinhas que você precisa comprar é muito maior que o número de figurinhas do álbum?

Existem referências que podem me ajudar a conhecer mais sobre esse problema e extensões dele?

Sem dúvida. Existem várias e algumas delas tratam de várias extensões desse problema. Veja aqui.

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