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Qual a intuição por detrás do produto de matrizes?

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perguntada Nov 29, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,126 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Nov 29, 2015 por danielcajueiro (5,126 pontos)  

Eu gosto de pensar num produto de matrizes como uma composição de transformação lineares. Seja, por exemplo, \(T_1:\Re^m\rightarrow \Re^n\) e \(T_2:\Re^n\rightarrow \Re^o\) definidas por \(T_1(x)=Ax\) e \(T_2(x)=Bx\), onde \(A\) e \(B\) são respectivamente matrizes de ordem \(n\times m\) e \(p\times o\). Logo, a composição \(T_2(T_1): \Re^m\rightarrow \Re^o\) está bem definida e é dada por

\[T_2(T_1(x))=BAx\]

Dessa forma, isso pode-se justificar o motivo pelo qual multiplicação de matrizes não é definida como a generalização mais natural do produto de números reais (pois além das outras propriedades, ela também materia a comutatividade do produto de dois números reais) que seria aquela em que se multiplicaria coordenada por coordenada.

Um exemplo interessante você ainda pode construir usando duas matrizes \(2\times 2\), onde a primeira é dada por uma matriz de rotação \(R\) e a outra dada por uma matriz de expansão/contração \(k\times I\), \(k\)é uma constante e \(I\) a matriz identidade. Note que a composição dessas matrizes pode ser usada para representar uma transformação linear \(T(x)=R(kI)=kR\) que altera o tamanho e roda o vetor.

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