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Qual o exemplo mais interessante que você conhece de indução matemática?

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perguntada Dez 16, 2015 em Matemática por estudante (431 pontos)  
reclassificado Dez 23, 2015 por danielcajueiro
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1 Resposta

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respondida Mar 20, 2017 por marcelo_papini (306 pontos)  

A pergunta proposta envolve um aspecto claramente subjetivo, pois os interesses variam de acordo com o sujeito vertente. (Em outros termos, o que é interessante a um sujeito, pode ser enfadonho para outro.)
Admitido esse postulado inicial, podemos indagar sobre a variação da área de um quadrado, cujos lados exibem comprimentos medidos em números inteiros, quando lhe acrescentamos uma fila e uma coluna.
Presumindo que o quadrado considerado tenha área \( n^2\), acrescentamos-lhe uma fila e uma coluna, ambas de comprimento n, e um quadrado cujo lado mede 1. Estamos, portanto, efetuando a soma \( n^2 + (2n + 1) = (n+1)^2\). Note-se que, independentemente do valor de \( n^2\), estaremos somando-lhe um número ímpar.
Em outros termos, estamos induzindo que a diferença entre dois números quadrados consecutivos seja um número ímpar. Isso sugere que provemos por recorrência (ou por 'indução matemática', como diz o consulente), que seja um quadrado perfeito (ou um resíduo quadrático) a soma de números ímpares consecutivos, iniciando por 1, fato esse que se percebe claramente, se imaginarmos que, iniciando com um quadrado cujo lado mede 1, lhe acrescentamos três outros quadrados com a mesma medida e obtemos um quadrado cujo lado mede 2 (e cuja área é 4). Novamente, acrescentando-lhe cinco outros quadrados com a mesma medida, obtemos um quadrado cujo lado mede 3 (e cuja área é 9). Etc.
Espero que esse exemplo de prova por recorrência interesse a diversos leitores.

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