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Existe um procedimento com início e fim para encontrar pontos de máximo e mínimo de funções reais sujeitas a restrições de igualdade?

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perguntada Jan 22, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,126 pontos)  

Estou interessado no pontos interiores de funções suaves \(f: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}\) com primeiras e segundas derivadas também suaves sugeitas a restrições \(g_1(x)=0, \; g_2(x)=0\; \cdots g_m(x)=0\).

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1 Resposta

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respondida Jan 22, 2016 por danielcajueiro (5,126 pontos)  

A forma mais comum de resolver é montando o lagrangeano.

1) Monte o lagrangeano.

\[L(\lambda_1,\cdots,\lambda_m,x)=f(x)+\sum_{j=1}^m g_j(x)\]

2) Derive em relação a todas as variáveis \(x_1,\cdots,x_n\) e \(\lambda_1,\cdots,\lambda_m\).

3) Iguale a zero todas as derivadas o ítem anterior (as derivadas em relação aos \(\lambda_j\)s recuperarão as restrições)

4) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

5) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

O hessiano orlado é escrito da seguinte forma:

\[A=\left[\begin{array}{cc} \frac{\partial L^2}{\partial \lambda \partial \lambda} & \frac{\partial L^2}{\partial \lambda \partial x}\\ \frac{\partial L^2}{\partial x \partial \lambda} & \frac{\partial L^2}{\partial x^2}\\ \end{array}\right]\]

Note que a derivada \(\frac{\partial L^2}{\partial \lambda \partial \lambda}\) é uma matriz de ordem \(m\times m\) nula.

6) Checar se os pontos são máximos ou mínimos

Seja \(m\) o número de restrições e \(n\) o número de variáveis. Estamos interessados nos últimos \(n-m\) determinantes dos menores principais do hessiano orlado.

Se todos eles tem o mesmo sinal que são iguais a \((-1)^m\) então o ponto crítico é ponto de mínimo.

Se esses determinantes alternam de sinal com o primeiro sinal igual a \((-1)^n\) então o ponto crítico é ponto de máximo.

Um exemplo desse procedimento pode ser encontrado aqui.

A prova desses resultados pode ser encontrado no livro A. Izmailov e M. Solodov. Otimização - Volume 1, 2005.

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