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Ache o ponto que maximiza \(f(x,y,z)= 4ln x +2y +8z\) sujeita a \(8-x-y-2z=0\) e \(1-0.5 x - z=0\).

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perguntada Jan 26, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,226 pontos)  
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respondida Jan 26, 2016 por danielcajueiro (5,226 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\(L(\lambda_1,\lambda_2,x,y,z)=\)
\(4 ln x + 2y + 8z + \lambda_1 (8-x-y-2z) +\lambda_2 (1-0.5x-z) \)

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda_1}=8-x-y-2z=0 \: (1)\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda_2}=1-0.5x-z=0 \: (2)\]

\[\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{4}{x}-\lambda_1 -0.5\lambda_2=0\: (3)\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=2-\lambda_1=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial z}=8-2\lambda_1-\lambda_2=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Note que esse sistema é bem simples de ser resolvido:

(4) \(\Rightarrow \lambda_1=2\)

(5) \(\Rightarrow \lambda_2=4\)

(3) \(\Rightarrow x=1\)

(2) \(\Rightarrow z=1/2\)

(1) \(\Rightarrow y=6\)

4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & -1 & -1 & -2\\ 0 & 0 & -0.5 & 0 & -1 \\ -1 & -0.5 & -4/x^2 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0& 0& 0\\-2 & -1 & 0& 0& 0\end{array} \right]\]

5) Checar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.

Como \((n-m)=3-2=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(|H_o|=-4/x^2=-4\), que tem o mesmo sinal de \((-1)^n\). Logo, o ponto crítico é ponto de máximo.

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